Question

设 $a$ 为正数。令集合 $S$ 由所有直角坐标 $(x,y)$ 满足下列全部条件的点组成： $\begin{aligned} &\text{(i) }\frac a2\le x\le2a\\ &\text{(ii) }\frac a2\le y\le2a\\ &\text{(iii) }x+y\ge a\\ &\text{(iv) }x+a\ge y\\ &\text{(v) }y+a\ge x\text{。} \end{aligned}$ 集合 $S$ 的边界是一个有

Let $a$ be a positive number. Consider the set $S$ of all points whose rectangular coordinates $(x,y)$ satisfy all of the following conditions: $\begin{aligned} &\text{(i) }\frac a2\le x\le2a\\ &\text{(ii) }\frac a2\le y\le2a\\ &\text{(iii) }x+y\ge a\\ &\text{(iv) }x+a\ge y\\ &\text{(v) }y+a\ge x. \end{aligned}$ The boundary of set $S$ is a polygon with

$3$ 条边的多边形

$3$ sides

$4$ 条边的多边形

$4$ sides

$5$ 条边的多边形

$5$ sides

$6$ 条边的多边形

$6$ sides

$7$ 条边的多边形

$7$ sides

答案：D

知识点：坐标几何不等式

难度评级：2100

小提示：

从条件 $\text{(i)}$ 和 $\text{(ii)}$ 所描述的正方形开始

Begin with the square described by conditions $\text{(i)}$ and $\text{(ii)}$

大提示：

判断哪个条件是多余的，以及哪两个条件切去了相对的两个角

Determine which condition is redundant and which two cut off opposite corners

解答：

前两个条件构成正方形 $[\frac{a}{2},2a]\times[\frac{a}{2},2a]$ 。在这个正方形内， $x+y\ge a$ 自动成立。最后两个条件等价于 $|x-y|\le a$ ；它们的边界直线切去顶点 $(2a,\frac{a}{2})$ 和 $(\frac{a}{2},2a)$ 。从正方形切去相对的两个角会得到六边形，所以边界有六条边。

因此，正确答案是 D。

The first two conditions form the square $[\frac{a}{2},2a]\times[\frac{a}{2},2a].$ Within this square, $x+y\ge a$ is automatic. The last two conditions are equivalent to $|x-y|\le a;$ their boundary lines cut off the corners $(2a,\frac{a}{2})$ and $(\frac{a}{2},2a).$ Cutting two opposite corners from a square produces a hexagon, so the boundary has six sides.

Therefore, the correct answer is D.

1978 AMC 12 第 25 题

答案：D

难度评级：2100

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 25 题