Question

使 $x^2+3xy+x+my-m$ 能分解为两个关于 $x$ 和 $y$ 的整系数一次因式的 $m$ 值恰好是：

The set of values of $m$ for which $x^2+3xy+x+my-m$ has two factors, with integer coefficients, which are linear in $x$ and $y,$ is precisely:

$0$ 、 $12$ 、 $-12$

$0,$ $12,$ $-12$

$0$ 、 $12$

$0,$ $12$

$12$ 、 $-12$

$12,$ $-12$

$12$

$0$

答案：B

知识点：因式分解多项式方程组

难度评级：1870

小提示：

将因式写成 $(x+ay+b)(x+cy+d)$

Write the factors as $(x+ay+b)(x+cy+d)$

大提示：

缺少 $y^2$ 项且交叉项为 $3xy$ ，这迫使 $\{a,c\}=\{0,3\}$

The missing $y^2$ -term and the $3xy$ -term force $\{a,c\}=\{0,3\}$

解答：

将分解式写成 $(x+ay+b)(x+cy+d)$ 。比较 $y^2$ 和 $xy$ 的系数，得 $ac=0$ 且 $a+c=3$ ，可取 $a=0$ 、 $c=3$ 。其余系数给出 $\begin{aligned} b+d&=1,\\ bd&=-m,\\ 3b&=m\text{。} \end{aligned}$ 因而 $b(d+3)=0$ 。若 $b=0$ ，则 $m=0$ ；否则 $d=-3$ 、 $b=4$ ，且 $m=12$ 。这两个值都能得到有效的整系数因式分解。

因此，正确答案是 B。

Write the factorization as $(x+ay+b)(x+cy+d).$ Comparing the $y^2$ and $xy$ coefficients gives $ac=0$ and $a+c=3,$ so take $a=0,$ $c=3.$ The other coefficients give $\begin{aligned} b+d&=1,\\ bd&=-m,\\ 3b&=m. \end{aligned}$ Hence $b(d+3)=0.$ If $b=0,$ then $m=0;$ otherwise $d=-3,$ $b=4,$ and $m=12.$ Both values produce valid integer factorizations.

Therefore, the correct answer is B.

1964 AMC 12 第 25 题

答案：B

难度评级：1870

小提示：

大提示：

解答：

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