若 60^a=3 且 60^b=5 ，则 12^(1-a-b)/(2(1-b)) 为

1983 AMC 12 第 25 题详解 | LIVE by Po-Shen Loh

1983 AMC 12 第 25 题

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25.

若 $60^a=3$ 且 $60^b=5$ ，则 $12^{\frac{1-a-b}{2(1-b)}}$ 为

If $60^a=3$ and $60^b=5,$ then $12^{\frac{1-a-b}{2(1-b)}}$ is

$\sqrt3$

$2$

$\sqrt5$

$3$

$\sqrt{12}$

答案：B

知识点：对数指数代数变形

难度评级：2310

小提示：

将 $1-a-b$ 和 $1-b$ 表示为以 $60$ 为底的对数

Express $1-a-b$ and $1-b$ as base- $60$ logarithms

大提示：

利用 $1-a-b=\log_{60}4$ 和 $1-b=\log_{60}12$

Use $1-a-b=\log_{60}4$ and $1-b=\log_{60}12$

解答：

由于 $a=\log_{60}3$ 且 $b=\log_{60}5$ ， $\begin{aligned} 1-a-b &=\log_{60}\frac{60}{15}=\log_{60}4,\\ 1-b &=\log_{60}\frac{60}{5}=\log_{60}12 \end{aligned}\text{。}$ 因此指数为 $\frac12\log_{12}4$ ，且 $12^{(\frac{1}{2})\log_{12}4}=\sqrt4=2\text{。}$

所以正确答案是 B。

Since $a=\log_{60}3$ and $b=\log_{60}5,$ $\begin{aligned} 1-a-b &=\log_{60}\frac{60}{15}=\log_{60}4,\\ 1-b &=\log_{60}\frac{60}{5}=\log_{60}12. \end{aligned}$ Therefore the exponent is $\frac12\log_{12}4,$ and $12^{(\frac{1}{2})\log_{12}4}=\sqrt4=2.$

Therefore, the correct answer is B.

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