Question

多项式 $P(x)$ 和 $Q(x)$ 都是 $3$ 次，首项系数都是 $1$ ，并且它们的根都属于 $\{1, 2, 3, 4, 5\}$ 。函数 $f(x) = \dfrac{P(x)}{Q(x)}$ 具有如下性质：存在实数 $a \lt b \lt c \lt d$ ，使得所有满足 $f(x) \le 0$ 的实数 $x$ 的集合由闭区间 $[a, b]$ 与开区间 $(c, d)$ 组成。可能有多少个函数 $f(x)$ ？

Polynomials $P(x)$ and $Q(x)$ each have degree $3$ and leading coefficient $1,$ and their roots are all elements of $\{1, 2, 3, 4, 5\}.$ The function $f(x) = \dfrac{P(x)}{Q(x)}$ has the property that there exist real numbers $a \lt b \lt c \lt d$ such that the set of all real numbers $x$ such that $f(x) \le 0$ consists of the closed interval $[a, b]$ together with the open interval $(c, d).$ How many functions $f(x)$ are possible?

$7$

$9$

$11$

$12$

$13$

答案：E

知识点：函数多项式分类讨论

难度评级：2540

小提示：

闭区间的端点必须是 $P$ 的零点，开区间的端点必须是 $Q$ 的零点

The closed endpoints must be zeros of $P,$ and the open endpoints must be zeros of $Q$

大提示：

这四个端点因子固定后，分子和分母剩下的因子必须相消；要数的是不同的函数，而不是多项式对

After those four endpoint factors are fixed, the remaining numerator and denominator factors must cancel; count distinct functions, not polynomial pairs

解答：

本题已作废：按题面作答，正确答案不在选项中。下面给出计数。

对于 $\{f \le 0\} = [a, b] \cup (c, d)$ ，闭区间端点 $a, b$ 必须是 $P$ 的零点，且在这些点 $Q\ne0$ ，而 $c,d$ 必须是极点。因此符号的变化必须与下面这个函数一致： $g(x)=\frac{(x-a)(x-b)}{(x-c)(x-d)}\text{。}$ $P$ 中未使用的第三个因子必须与 $Q$ 中未使用的第三个因子相同；否则会多出零点、极点或符号变化。

如果这个公共因子是 $a,b,c,d$ 之外的第五个值，它不能在任一区间内部形成空点。在五个数从小到大的排列中，它只能位于 $a$ 之前、 $b$ 与 $c$ 之间，或 $d$ 之后，因此给出 $3$ 个函数。

另一种可能是公共因子等于 $c$ 或 $d$ 。对 $a,b,c,d$ 的每一种选择（共 $\binom54=5$ 种），这两个多项式对化简为同一个公式 $g$ ，且定义域相同（都排除 $c,d$ ），所以只定义一个函数。这再给出 $5$ 个函数，按题面字面理解总数为 $3+5=8$ 。

如果在后五种情形中把两个多项式对分别计数，就会得到 $3+2\cdot5=13$ ，即临时答案 (E)，但这没有回答题目所问的函数个数。因此印刷的选项都不正确。

This problem was voided: as written, its answer is not among the choices. Here is the count.

For $\{f \le 0\} = [a, b] \cup (c, d),$ the endpoints $a, b$ of the closed interval must be zeros of $P$ at which $Q\ne0,$ while $c,d$ must be poles. The required sign pattern is therefore that of $g(x)=\frac{(x-a)(x-b)}{(x-c)(x-d)}.$ The unused third factor of $P$ must match the unused third factor of $Q;$ otherwise there would be an extra zero, pole, or sign change.

If the common factor is the fifth value not among $a,b,c,d,$ it cannot make a hole inside either interval. In the ordered list of five values it may therefore occur before $a,$ between $b$ and $c,$ or after $d,$ giving $3$ functions.

Alternatively, the common factor can equal $c$ or $d.$ For each of the $\binom54=5$ choices of $a,b,c,d,$ these two polynomial pairs simplify to the same formula $g$ and have the same domain (both omit $c,d$ ), so they define only one function. This gives $5$ more functions, for a literal total of $3+5=8.$

Counting the two polynomial pairs separately in each of the last five cases gives $3+2\cdot5=13,$ the provisional answer (E), but that does not answer the stated question about functions. Thus none of the printed choices is correct.

2025 AMC 12A 第 25 题

答案：E

难度评级：2540

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 25 题