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2023 AMC 12B 第 25 题

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所有题目均经美国数学协会（MAA）官方合法授权使用。

25.

一个面积为 5+1\sqrt{5}+1 的正五边形印在纸上并被剪下。将五边形的五个顶点都折到 五边形的中心，形成一个较小的五边形。新五边形的面积是多少？

A regular pentagon with area 5+1\sqrt{5}+1 is printed on paper and cut out. The five vertices of the pentagon are folded into the center of the pentagon, creating a smaller pentagon. What is the area of the new pentagon?

4−54-\sqrt{5}

5−1\sqrt{5}-1

8−358-3\sqrt{5}

5+12\dfrac{\sqrt{5}+1}{2}

2+53\dfrac{2+\sqrt{5}}{3}

答案：B
知识点：正多边形折纸面积比
难度评级：2490
小提示：

把一个顶点折到中心时，折痕在中心到该顶点线段的垂直平分线上

Folding a vertex to the center creases along the perpendicular bisector of the segment from the center to that vertex

大提示：

新五边形是内切圆半径为 R2\frac{R}{2} 的正五边形；与原来的内切圆半径 Rcos⁡36∘R\cos 36^\circ 比较

The new pentagon is regular with apothem R2;\frac{R}{2}; compare to the original apothem Rcos⁡36∘R\cos 36^\circ

解答：

设原五边形的外接圆半径为 RR。将一个顶点折到中心时，折痕是中心到该顶点线段的垂直平分线，即离中心距离为 R2\tfrac{R}{2} 的直线。五条折痕围成一个内切圆半径为 R2\tfrac{R}{2} 的正五边形，而原五边形的内切圆半径为 Rcos⁡36∘R\cos 36^\circ。面积按内切圆半径的平方成比例，所以比例为 (R2)2(Rcos⁡36∘)2=14cos⁡236∘。 \frac{(\frac{R}{2})^2}{(R\cos 36^\circ)^2}=\frac{1}{4\cos^2 36^\circ}\text{。} 因为 cos⁡36∘=1+54\cos 36^\circ=\tfrac{1+\sqrt5}{4}，这个比例为 4(1+5)2\tfrac{4}{(1+\sqrt5)^2} =46+25=\tfrac{4}{6+2\sqrt5} =23+5=\tfrac{2}{3+\sqrt5} =3−52=\tfrac{3-\sqrt5}{2}。乘以原面积 5+1\sqrt5+1 得 (3−5)(5+1)2\tfrac{(3-\sqrt5)(\sqrt5+1)}{2} =25−22=\tfrac{2\sqrt5-2}{2} =5−1=\sqrt5-1。

因此，正确答案是 B。

Let the original pentagon have circumradius R.R. Folding a vertex to the center creases along the perpendicular bisector of the segment from the center to that vertex, a line at distance R2\tfrac{R}{2} from the center. The five creases bound a regular pentagon with apothem R2,\tfrac{R}{2}, whereas the original has apothem Rcos⁡36∘.R\cos 36^\circ. Areas scale as the square of the apothem, so the ratio is (R2)2(Rcos⁡36∘)2=14cos⁡236∘. \frac{(\frac{R}{2})^2}{(R\cos 36^\circ)^2}=\frac{1}{4\cos^2 36^\circ}. Since cos⁡36∘=1+54,\cos 36^\circ=\tfrac{1+\sqrt5}{4}, this ratio is 4(1+5)2\tfrac{4}{(1+\sqrt5)^2} =46+25=\tfrac{4}{6+2\sqrt5} =23+5=\tfrac{2}{3+\sqrt5} =3−52.=\tfrac{3-\sqrt5}{2}. Multiplying by the original area 5+1\sqrt5+1 gives (3−5)(5+1)2\tfrac{(3-\sqrt5)(\sqrt5+1)}{2} =25−22=\tfrac{2\sqrt5-2}{2} =5−1.=\sqrt5-1.

Thus, the correct answer is B.

第 24 题#24
完整试卷

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