Question

已知 $2^{2004}$ 是一个 $604$ 位数，且首位数字是 $1$ ，集合 $S = \{2^0, 2^1, 2^2, \ldots, 2^{2003}\}$ 中有多少个元素的首位数字是 $4$ ？

Given that $2^{2004}$ is a $604$ -digit number whose first digit is $1,$ how many elements of the set $S = \{2^0, 2^1, 2^2, \ldots, 2^{2003}\}$ have a first digit of $4?$

$194$

$195$

$196$

$197$

$198$

答案：B

知识点：数字找规律

难度评级：2360

小提示：

$2^k$ 的位数恰好在首位数字导致进位时增加 $1$ 。

The number of digits of $2^k$ increases by $1$ exactly when its leading digit forces a carry

大提示：

一个 $2$ 的幂首位是 $8$ 或 $9$ ，当且仅当前一个幂的首位是 $4$ 。

A power of $2$ has leading digit $8$ or $9$ precisely when the previous power has leading digit $4$

解答：

具有任意固定位数的最小 $2$ 的幂位于 $10^k$ 和 $2\cdot10^k$ 之间，所以首位数字为 $1$ 。因为 $2^{2004}$ 是以 $1$ 开头的 $604$ 位数，它是位数为 $604$ 的第一个幂。因此集合 $S$ 对从 $1$ 到 $603$ 的每一种位数恰含一个首位为 $1$ 的数，共 $603$ 个。

在每个首位为 $1$ 的幂之后，下一个幂的首位为 $2$ 或 $3$ ，再下一个幂的首位为 $4, 5, 6$ ，或 $7$ 。所以有 $603$ 个元素首位为 $2$ 或 $3$ ，另有 $603$ 个元素首位从 $4$ 到 $7$ ，剩余 $2004 - 3(603) = 195$ 个元素首位为 $8$ 或 $9$ 。

最后，把首位为 $8$ 或 $9$ 的幂除以二，会得到前一个首位为 $4$ 的幂；把任意首位为 $4$ 的幂乘以二正好是逆操作。这是一个双射，所以首位数字为 $4$ 的元素有 $195$ 个。

所以正确答案是 B。

The smallest power of $2$ with any given digit-count lies between $10^k$ and $2\cdot10^k,$ so it has leading digit $1.$ Because $2^{2004}$ is a $604$ -digit number beginning with $1,$ it is the first $604$ -digit power. Thus the powers in $S$ contain exactly one leading- $1$ number for each digit-count from $1$ through $603,$ or $603$ in all.

After each leading- $1$ power, the next power leads with $2$ or $3,$ and the following power leads with $4, 5, 6,$ or $7.$ Hence $603$ elements lead with $2$ or $3,$ another $603$ lead with $4$ through $7,$ and the remaining $2004 - 3(603) = 195$ lead with $8$ or $9.$

Finally, halving a power that leads with $8$ or $9$ produces the preceding power with leading digit $4,$ and doubling any leading- $4$ power reverses this. This is a bijection, so there are $195$ elements with first digit $4.$

Thus, the correct answer is B.

2004 AMC 12B 第 25 题

答案：B

难度评级：2360

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 25 题