Question

Dado que $2^{2004}$ es un número de $604$ dígitos cuyo primer dígito es $1,$ ¿cuántos elementos del conjunto $S = \{2^0, 2^1, 2^2, \ldots, 2^{2003}\}$ tienen primer dígito $4$ ?

Given that $2^{2004}$ is a $604$ -digit number whose first digit is $1,$ how many elements of the set $S = \{2^0, 2^1, 2^2, \ldots, 2^{2003}\}$ have a first digit of $4?$

$194$

$195$

$196$

$197$

$198$

Respuesta: B

Conceptos:dígitos reconocimiento de patrones

Nivel de dificultad: 2360

Pista pequeña:

El número de dígitos de $2^k$ aumenta en $1$ exactamente cuando su dígito principal fuerza un acarreo.

The number of digits of $2^k$ increases by $1$ exactly when its leading digit forces a carry

Pista grande:

Una potencia de $2$ tiene dígito principal $8$ o $9$ precisamente cuando la potencia anterior tiene dígito principal $4$ .

A power of $2$ has leading digit $8$ or $9$ precisely when the previous power has leading digit $4$

Solución:

La menor potencia de $2$ con una cantidad fija de dígitos está entre $10^k$ y $2\cdot10^k,$ así que su primer dígito es $1.$ Como $2^{2004}$ es un número de $604$ dígitos que empieza por $1$ , es la primera potencia de $604$ dígitos. Por tanto, las potencias de $S$ contienen exactamente un número que empieza por $1$ para cada cantidad de dígitos entre $1$ y $603,$ es decir, $603$ en total.

Después de cada potencia que empieza por $1$ , la siguiente empieza por $2$ o $3,$ y la siguiente por $4, 5, 6,$ o $7.$ Así, $603$ elementos empiezan por $2$ o $3,$ otros $603$ empiezan por $4$ a $7,$ y los $2004 - 3(603) = 195$ restantes empiezan por $8$ o $9.$

Finalmente, dividir por dos una potencia que empieza por $8$ o $9$ produce la potencia anterior, que empieza por $4,$ y duplicar una potencia que empieza por $4$ invierte esta operación. Es una biyección, así que hay $195$ elementos cuyo primer dígito es $4.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

The smallest power of $2$ with any given digit-count lies between $10^k$ and $2\cdot10^k,$ so it has leading digit $1.$ Because $2^{2004}$ is a $604$ -digit number beginning with $1,$ it is the first $604$ -digit power. Thus the powers in $S$ contain exactly one leading- $1$ number for each digit-count from $1$ through $603,$ or $603$ in all.

After each leading- $1$ power, the next power leads with $2$ or $3,$ and the following power leads with $4, 5, 6,$ or $7.$ Hence $603$ elements lead with $2$ or $3,$ another $603$ lead with $4$ through $7,$ and the remaining $2004 - 3(603) = 195$ lead with $8$ or $9.$

Finally, halving a power that leads with $8$ or $9$ produces the preceding power with leading digit $4,$ and doubling any leading- $4$ power reverses this. This is a bijection, so there are $195$ elements with first digit $4.$

Thus, the correct answer is B.

2004 AMC 12B Problema 25

Respuesta: B

Nivel de dificultad: 2360

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 25 en otros años