Question

Dos cuadriláteros se consideran iguales si uno puede obtenerse del otro mediante una rotación y una traslación. ¿Cuántos cuadriláteros cíclicos convexos diferentes hay con lados enteros y perímetro igual a $32$ ?

Two quadrilaterals are considered the same if one can be obtained from the other by a rotation and a translation. How many different convex cyclic quadrilaterals are there with integer sides and perimeter equal to $32?$

$560$

$564$

$568$

$1498$

$2255$

Solución:

Un cuadrilátero cíclico convexo queda determinado, salvo rotación y traslación, por su sucesión cíclica de longitudes de lados, y existe exactamente cuando el lado mayor es menor que la suma de los otros. Con perímetro $32,$ esto significa que cada lado es a lo sumo $15.$

Primero cuenta las cuádruplas ordenadas $(a,b,c,d)$ de enteros positivos con $a+b+c+d=32$ y cada entrada a lo sumo $15.$ Sin la cota superior hay $\binom{31}{3}=4495;$ al quitar aquellas con alguna entrada al menos $16$ se restan $4\binom{16}{3}=2240,$ dejando $2255.$

Las rotaciones del cuadrilátero corresponden a permutaciones cíclicas de $(a,b,c,d).$ Por el lema de Burnside, el número de cuadriláteros distintos es $\frac{1}{4}\big(2255+f_1+f_2+f_3\big),$ donde $f_i$ cuenta las cuádruplas fijadas al rotar $i$ posiciones.

Una rotación de uno o tres pasos fija solo $(8,8,8,8),$ así que $f_1=f_3=1.$ Una rotación de dos pasos fija $(a,b,a,b)$ con $a+b=16$ y $1\le a,b\le15,$ dando $f_2=15.$

Por lo tanto, el conteo es $\begin{aligned} \frac{1}{4}(2255+1+15+1) &= \frac{2272}{4} \\ &= 568. \end{aligned}$

Por lo tanto, C es la respuesta correcta.

A convex cyclic quadrilateral is determined up to rotation and translation by its cyclic sequence of side lengths, and it exists exactly when the largest side is less than the sum of the others. With perimeter $32,$ this means each side is at most $15.$

First count ordered quadruples $(a,b,c,d)$ of positive integers with $a+b+c+d=32$ and each entry at most $15.$ Without the upper bound there are $\binom{31}{3}=4495;$ removing those with some entry at least $16$ subtracts $4\binom{16}{3}=2240,$ leaving $2255.$

Rotations of the quadrilateral correspond to cyclic permutations of $(a,b,c,d).$ By Burnside's lemma the number of distinct quadrilaterals is $\frac{1}{4}\big(2255+f_1+f_2+f_3\big),$ where $f_i$ counts quadruples fixed by rotating $i$ positions.

A one- or three-step rotation fixes only $(8,8,8,8),$ so $f_1=f_3=1.$ A two-step rotation fixes $(a,b,a,b)$ with $a+b=16$ and $1\le a,b\le15,$ giving $f_2=15.$

Hence the count is $\begin{aligned} \frac{1}{4}(2255+1+15+1) &= \frac{2272}{4} \\ &= 568. \end{aligned}$

Thus, C is the correct answer.

2010 AMC 12A Problema 25

Solución:

El Problema 25 en otros años