Question

Sea $d(n)$ el número de enteros positivos que dividen a $n,$ incluyendo $1$ y $n.$ Por ejemplo, $d(1) = 1,$ $d(2) = 2,$ y $d(12) = 6.$ (Esta función se conoce como la función divisor.) Sea $f(n) = \frac{d(n)}{\sqrt[3]{n}}.$

Existe un único entero positivo $N$ tal que $f(N) \gt f(n)$ para todos los enteros positivos $n \ne N.$ ¿Cuál es la suma de los dígitos de $N$ ?

Let $d(n)$ denote the number of positive integers that divide $n,$ including $1$ and $n.$ For example, $d(1) = 1,$ $d(2) = 2,$ and $d(12) = 6.$ (This function is known as the divisor function.) Let $f(n) = \frac{d(n)}{\sqrt[3]{n}}.$

There is a unique positive integer $N$ such that $f(N) \gt f(n)$ for all positive integers $n \ne N.$ What is the sum of the digits of $N?$

$5$

$6$

$7$

$8$

$9$

Respuesta: E

Conceptos:conteo de factores factorización en primos optimización

Nivel de dificultad: 2610

Pista pequeña:

$f$ es multiplicativa, así que maximiza $\dfrac{e + 1}{p^{\frac{e}{3}}}$ independientemente para cada primo $p$ .

$f$ is multiplicative, so maximize $\dfrac{e + 1}{p^{\frac{e}{3}}}$ independently for each prime $p$

Pista grande:

Para $p = 2$ el mejor exponente es $3;$ para $p = 3$ es $2;$ para $p = 5, 7$ es $1;$ y para $p \ge 11$ es $0$ .

For $p = 2$ the best exponent is $3;$ for $p = 3$ it is $2;$ for $p = 5, 7$ it is $1;$ and for $p \ge 11$ it is $0$

Solución:

Como $f(n) = \dfrac{d(n)}{n^{\frac{1}{3}}}$ es multiplicativa, su valor se factoriza sobre las potencias primas como un producto de términos $\dfrac{e + 1}{p^{\frac{e}{3}}}$ para cada potencia prima $p^e\ \|\ n.$ Maximizamos cada término por separado.

Si $g_p(e)=\dfrac{e+1}{p^{\frac{e}{3}}},$ entonces $\dfrac{g_p(e+1)}{g_p(e)}=\dfrac{e+2}{e+1}p^{-\frac{1}{3}}.$ Esta razón disminuye con $e,$ de modo que el máximo único se encuentra comprobando cuándo cae por primera vez por debajo de $1$ . Esto da $e=3$ para $p=2,$ $e=2$ para $p=3,$ $e=1$ para $p=5,7,$ y $e=0$ para todo primo $p\ge11.$

Por tanto, $N = 2^3\cdot 3^2\cdot 5\cdot 7 = 2520,$ cuya suma de cifras es $2 + 5 + 2 + 0 = 9.$

Así, la respuesta correcta es E.

Since $f(n) = \dfrac{d(n)}{n^{\frac{1}{3}}}$ is multiplicative, its value factors over prime powers as a product of terms $\dfrac{e + 1}{p^{\frac{e}{3}}}$ for each prime power $p^e\ \|\ n.$ We maximize each term separately.

If $g_p(e)=\dfrac{e+1}{p^{\frac{e}{3}}},$ then $\dfrac{g_p(e+1)}{g_p(e)}=\dfrac{e+2}{e+1}p^{-\frac{1}{3}}.$ This ratio decreases with $e,$ so checking where it first falls below $1$ finds the unique maximum. It gives $e=3$ for $p=2,$ $e=2$ for $p=3,$ $e=1$ for $p=5,7,$ and $e=0$ for every prime $p\ge11.$

Hence $N = 2^3\cdot 3^2\cdot 5\cdot 7 = 2520,$ whose digit sum is $2 + 5 + 2 + 0 = 9.$

Thus, the correct answer is E.

2021 AMC 12A Spring Problema 25

Respuesta: E

Nivel de dificultad: 2610

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 25 en otros años