Question

Sea $d(n)$ el número de enteros positivos que dividen a $n$ , incluyendo $1$ y $n$ . Por ejemplo, $d(1) = 1$ , $d(2) = 2$ , y $d(12) = 6$ . (Esta función se conoce como la función divisor.) Sea $f(n) = \frac{d(n)}{\sqrt[3]{n}}.$

Existe un único entero positivo $N$ tal que $f(N) \gt f(n)$ para todos los enteros positivos $n \ne N$ . ¿Cuál es la suma de los dígitos de $N$ ?

Let $d(n)$ denote the number of positive integers that divide $n,$ including $1$ and $n.$ For example, $d(1) = 1,$ $d(2) = 2,$ and $d(12) = 6.$ (This function is known as the divisor function.) Let $f(n) = \frac{d(n)}{\sqrt[3]{n}}.$

There is a unique positive integer $N$ such that $f(N) \gt f(n)$ for all positive integers $n \ne N.$ What is the sum of the digits of $N?$

$5$

$6$

$7$

$8$

$9$

Solución:

Como $f(n) = \dfrac{d(n)}{n^{1/3}}$ es multiplicativa, su valor se factoriza sobre las potencias de primos como un producto de términos $\dfrac{e + 1}{p^{e/3}}$ para cada potencia de primo $p^e\ \|\ n$ . Maximizamos cada término por separado.

Para $p = 2$ , la razón $\dfrac{e+1}{2^{e/3}}$ es mayor en $e = 3$ (valor $2$ ). Para $p = 3$ , alcanza su máximo en $e = 2$ ; para $p = 5$ y $p = 7$ , en $e = 1$ ; y para todo primo $p \ge 11$ , la mejor elección es $e = 0$ (la razón ya cae por debajo de $1$ en $e = 1$ ).

Por lo tanto $N = 2^3\cdot 3^2\cdot 5\cdot 7 = 2520$ , cuya suma de dígitos es $2 + 5 + 2 + 0 = 9$ .

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

Since $f(n) = \dfrac{d(n)}{n^{1/3}}$ is multiplicative, its value factors over prime powers as a product of terms $\dfrac{e + 1}{p^{e/3}}$ for each prime power $p^e\ \|\ n.$ We maximize each term separately.

For $p = 2,$ the ratio $\dfrac{e+1}{2^{e/3}}$ is largest at $e = 3$ (value $2$ ). For $p = 3,$ it peaks at $e = 2;$ for $p = 5$ and $p = 7,$ at $e = 1;$ and for every prime $p \ge 11,$ the best choice is $e = 0$ (the ratio already drops below $1$ at $e = 1$ ).

Hence $N = 2^3\cdot 3^2\cdot 5\cdot 7 = 2520,$ whose digit sum is $2 + 5 + 2 + 0 = 9.$

Thus, the correct answer is E.

2021 AMC 12A Spring Problema 25

Solución:

El Problema 25 en otros años