Question

Una colección de círculos en el semiplano superior, todos tangentes al eje $x$ , se construye por capas de la siguiente manera. La capa $L_0$ consta de dos círculos de radios $70^2$ y $73^2$ que son tangentes externamente. Para $k \ge 1,$ los círculos en $\bigcup_{j=0}^{k-1} L_j$ se ordenan según sus puntos de tangencia con el eje $x$ . Para cada par de círculos consecutivos en este orden, se construye un nuevo círculo tangente externamente a cada uno de los dos círculos del par. La capa $L_k$ consta de los $2^{k-1}$ círculos construidos de esta manera. Sea $S = \bigcup_{j=0}^{6} L_j,$ y para cada círculo $C$ denota por $r(C)$ su radio. ¿Cuánto vale $\sum_{C \in S} \dfrac{1}{\sqrt{r(C)}}?$

A collection of circles in the upper half-plane, all tangent to the $x$ -axis, is constructed in layers as follows. Layer $L_0$ consists of two circles of radii $70^2$ and $73^2$ that are externally tangent. For $k \ge 1,$ the circles in $\bigcup_{j=0}^{k-1} L_j$ are ordered according to their points of tangency with the $x$ -axis. For every pair of consecutive circles in this order, a new circle is constructed externally tangent to each of the two circles in the pair. Layer $L_k$ consists of the $2^{k-1}$ circles constructed in this way. Let $S = \bigcup_{j=0}^{6} L_j,$ and for every circle $C$ denote by $r(C)$ its radius. What is $\sum_{C \in S} \dfrac{1}{\sqrt{r(C)}}?$

$\dfrac{286}{35}$

$\dfrac{583}{70}$

$\dfrac{715}{73}$

$\dfrac{143}{14}$

$\dfrac{1573}{146}$

Solución:

Si un círculo de radio $r$ es tangente al eje $x$ y está encajado en el hueco entre dos círculos de radios $r_1$ y $r_2$ que también son tangentes al eje y entre sí, entonces $\dfrac{1}{\sqrt{r}} = \dfrac{1}{\sqrt{r_1}} + \dfrac{1}{\sqrt{r_2}}.$

Sea $x = \dfrac{1}{\sqrt{70^2}} + \dfrac{1}{\sqrt{73^2}}$ $= \dfrac{1}{70} + \dfrac{1}{73},$ que es la suma sobre $L_0.$ El único círculo de $L_1$ también aporta $x.$ Para $k \ge 2,$ cada nuevo círculo aporta la suma de sus dos vecinos, y cada círculo anterior se cuenta dos veces excepto los dos círculos de $L_0;$ esto da una suma de $3^{k-1}x$ sobre $L_k.$

Por lo tanto $\begin{gathered} \sum_{C \in S} \dfrac{1}{\sqrt{r(C)}} = x \\ {}+ \sum_{k=1}^{6} 3^{k-1}x \\ = x\left(1 + \dfrac{3^6 - 1}{2}\right) \\ = x\cdot\dfrac{3^6 + 1}{2} \\ = 365x. \end{gathered}$

Como $x = \dfrac{1}{70} + \dfrac{1}{73}$ $= \dfrac{143}{70\cdot 73}$ $= \dfrac{143}{5110},$ la suma es $365\cdot\dfrac{143}{5110} = \dfrac{143}{14}.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

If a circle of radius $r$ is tangent to the $x$ -axis and nestled in the crevice between two circles of radii $r_1$ and $r_2$ that are also tangent to the axis and to each other, then $\dfrac{1}{\sqrt{r}} = \dfrac{1}{\sqrt{r_1}} + \dfrac{1}{\sqrt{r_2}}.$

Let $x = \dfrac{1}{\sqrt{70^2}} + \dfrac{1}{\sqrt{73^2}}$ $= \dfrac{1}{70} + \dfrac{1}{73},$ which is the sum over $L_0.$ The single circle of $L_1$ also contributes $x.$ For $k \ge 2,$ each new circle contributes the sum of its two neighbors, and every earlier circle is counted twice except the two circles of $L_0;$ this yields a sum of $3^{k-1}x$ over $L_k.$

Therefore $\begin{gathered} \sum_{C \in S} \dfrac{1}{\sqrt{r(C)}} = x \\ {}+ \sum_{k=1}^{6} 3^{k-1}x \\ = x\left(1 + \dfrac{3^6 - 1}{2}\right) \\ = x\cdot\dfrac{3^6 + 1}{2} \\ = 365x. \end{gathered}$

Since $x = \dfrac{1}{70} + \dfrac{1}{73}$ $= \dfrac{143}{70\cdot 73}$ $= \dfrac{143}{5110},$ the sum is $365\cdot\dfrac{143}{5110} = \dfrac{143}{14}.$

Thus, the correct answer is D.

2015 AMC 12A Problema 25

Solución:

El Problema 25 en otros años