Soluciones del 2015 AMC 12A | LIVE by Po-Shen Loh

1.

¿Cuál es el valor de la expresión $(2^0-1+5^2+0)^{-1}\times 5?$

What is the value of $(2^0-1+5^2+0)^{-1}\times 5?$

$-125$

$-120$

$\dfrac{1}{5}$

$\dfrac{5}{24}$

$25$

Conceptos:orden de las operaciones exponente

Nivel de dificultad: 890

Pista pequeña:

Primero evalúa dentro del paréntesis, usando $2^0=1$ .

Evaluate inside the parentheses first, using $2^0=1$

Pista grande:

Un exponente $-1$ significa tomar el recíproco antes de multiplicar por $5$ .

A $-1$ exponent means take the reciprocal before multiplying by $5$

Solución:

Dentro del paréntesis, $\begin{aligned} &2^0-1+5^2+0 \\ &\quad = 1-1+25+0 = 25. \end{aligned}$

Luego $(25)^{-1}\times 5 = \dfrac{5}{25} = \dfrac{1}{5}.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Inside the parentheses, $\begin{aligned} &2^0-1+5^2+0 \\ &\quad = 1-1+25+0 = 25. \end{aligned}$

Then $(25)^{-1}\times 5 = \dfrac{5}{25} = \dfrac{1}{5}.$

Thus, the correct answer is C.

2.

Dos de los tres lados de un triángulo son $20$ y $15.$ ¿Cuál de los siguientes números no puede ser el perímetro del triángulo?

Two of the three sides of a triangle are $20$ and $15.$ Which of the following numbers is not a possible perimeter of the triangle?

$52$

$57$

$62$

$67$

$72$

Conceptos:desigualdad triangular acotación a casos límite

Nivel de dificultad: 1020

Pista pequeña:

El tercer lado está estrictamente entre $20-15$ y $20+15$

The third side lies strictly between $20-15$ and $20+15$

Pista grande:

Suma $20+15$ a ese rango para acotar el perímetro

Add $20+15$ to that range to bound the perimeter

Solución:

Por la desigualdad triangular, el tercer lado $s$ satisface $20-15 \lt s \lt 20+15,$ es decir $5 \lt s \lt 35.$

El perímetro es $35 + s,$ así que está estrictamente entre $40$ y $70.$ Entre las opciones, solo $72$ queda fuera de este rango.

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

By the Triangle Inequality, the third side $s$ satisfies $20-15 \lt s \lt 20+15,$ that is $5 \lt s \lt 35.$

The perimeter is $35 + s,$ so it lies strictly between $40$ and $70.$ Among the choices, only $72$ falls outside this range.

Thus, the correct answer is E.

3.

El Sr. Patrick enseña matemáticas a $15$ estudiantes. Al calificar los exámenes, encontró que cuando calificó el examen de todos excepto el de Payton, el promedio de la clase era $80.$ Después de calificar el examen de Payton, el promedio de la clase pasó a $81.$ ¿Cuánto sacó Payton en el examen?

Mr. Patrick teaches math to $15$ students. He was grading tests and found that when he graded everyone’s test except Payton’s, the average grade for the class was $80.$ After he graded Payton’s test, the class average became $81.$ What was Payton’s score on the test?

$81$

$85$

$91$

$94$

$95$

Conceptos:media

Nivel de dificultad: 1130

Pista pequeña:

Los otros $14$ estudiantes juntos sumaron $14\times 80$ .

The other $14$ students together scored $14\times 80$

Pista grande:

Las $15$ puntuaciones en total suman $15\times 81$ ; resta

All $15$ scores together total $15\times 81$ ; subtract

Solución:

La suma de las otras $14$ puntuaciones fue $14\cdot 80 = 1120.$ La suma de las $15$ puntuaciones fue $15\cdot 81 = 1215.$

Por lo tanto, la puntuación de Payton fue $1215 - 1120 = 95.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

The sum of the $14$ other scores was $14\cdot 80 = 1120.$ The sum of all $15$ scores was $15\cdot 81 = 1215.$

Therefore Payton’s score was $1215 - 1120 = 95.$

Thus, the correct answer is E.

4.

La suma de dos números positivos es $5$ veces su diferencia. ¿Cuál es la razón del número mayor al número menor?

The sum of two positive numbers is $5$ times their difference. What is the ratio of the larger number to the smaller number?

$\dfrac{5}{4}$

$\dfrac{3}{2}$

$\dfrac{9}{5}$

$2$

$\dfrac{5}{2}$

Conceptos:razón y proporción ecuación lineal

Nivel de dificultad: 1200

Pista pequeña:

Toma los números como $x \gt y$ y escribe $x+y=5(x-y)$

Let the numbers be $x \gt y$ and write $x+y=5(x-y)$

Pista grande:

Reordena para relacionar $x$ y $y$ , luego forma $\dfrac{x}{y}$

Rearrange to relate $x$ and $y$ , then form $\dfrac{x}{y}$

Solución:

Sean $x$ y $y$ los números con $x \gt y \gt 0.$ Entonces $x+y = 5(x-y).$

Al desarrollar se obtiene $x+y = 5x-5y,$ así que $6y = 4x$ y $\dfrac{x}{y} = \dfrac{3}{2}.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Let $x$ and $y$ be the numbers with $x \gt y \gt 0.$ Then $x+y = 5(x-y).$

Expanding gives $x+y = 5x-5y,$ so $6y = 4x$ and $\dfrac{x}{y} = \dfrac{3}{2}.$

Thus, the correct answer is B.

5.

Amelia necesita estimar la cantidad $\dfrac{a}{b}-c,$ donde $a,$ $b,$ y $c$ son enteros positivos grandes. Redondea cada uno de los enteros para que el cálculo sea más fácil de hacer mentalmente. ¿En cuál de estas situaciones su respuesta será necesariamente mayor que el valor exacto de $\dfrac{a}{b}-c$ ?

Amelia needs to estimate the quantity $\dfrac{a}{b}-c,$ where $a,$ $b,$ and $c$ are large positive integers. She rounds each of the integers so that the calculation will be easier to do mentally. In which of these situations will her answer necessarily be greater than the exact value of $\dfrac{a}{b}-c?$

Redondea los tres números hacia arriba.

She rounds all three numbers up.

Redondea $a$ y $b$ hacia arriba, y redondea $c$ hacia abajo.

She rounds $a$ and $b$ up, and she rounds $c$ down.

Redondea $a$ y $c$ hacia arriba, y redondea $b$ hacia abajo.

She rounds $a$ and $c$ up, and she rounds $b$ down.

Redondea $a$ hacia arriba, y redondea $b$ y $c$ hacia abajo.

She rounds $a$ up, and she rounds $b$ and $c$ down.

Redondea $c$ hacia arriba, y redondea $a$ y $b$ hacia abajo.

She rounds $c$ up, and she rounds $a$ and $b$ down.

Conceptos:estimación desigualdad

Nivel de dificultad: 1270

Pista pequeña:

Aumentar $a$ o disminuir $b$ hace $\dfrac{a}{b}$ más grande

Increasing $a$ or decreasing $b$ makes $\dfrac{a}{b}$ larger

Pista grande:

Disminuir $c$ hace $-c$ más grande; encuentra la opción donde cada cambio eleva el resultado

Decreasing $c$ makes $-c$ larger; find the choice where every change raises the result

Solución:

Para hacer $\dfrac{a}{b}$ más grande, redondea el numerador $a$ hacia arriba y el denominador $b$ hacia abajo. Para hacer $-c$ más grande, redondea $c$ hacia abajo.

Solo la opción $\text{(D)}$ hace las tres cosas: redondea $a$ hacia arriba mientras redondea $b$ y $c$ hacia abajo, así que cada cambio empuja la estimación por encima del valor exacto. En las otras opciones al menos un cambio va en la dirección equivocada, así que no se garantiza que la estimación sea mayor.

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

To make $\dfrac{a}{b}$ larger, round the numerator $a$ up and the denominator $b$ down. To make $-c$ larger, round $c$ down.

Only choice $\text{(D)}$ does all three: it rounds $a$ up while rounding $b$ and $c$ down, so every change pushes the estimate above the exact value. In the other choices at least one change works the wrong way, so the estimate is not guaranteed to be larger.

Thus, the correct answer is D.

6.

Hace dos años Pete tenía el triple de la edad de su prima Claire. Dos años antes de eso, Pete tenía cuatro veces la edad de Claire. ¿Dentro de cuántos años la razón de sus edades será $2 : 1$ ?

Two years ago Pete was three times as old as his cousin Claire. Two years before that, Pete was four times as old as Claire. In how many years will the ratio of their ages be $2 : 1?$

$2$

$4$

$5$

$6$

$8$

Conceptos:edades sistema de ecuaciones

Nivel de dificultad: 1350

Pista pequeña:

Sean $p,c$ sus edades actuales: $p-2=3(c-2)$ y $p-4=4(c-4)$

Let $p,c$ be their current ages: $p-2=3(c-2)$ and $p-4=4(c-4)$

Pista grande:

Despeja $p$ y $c,$ luego encuentra $n$ con $p+n = 2(c+n)$

Solve for $p$ and $c,$ then find $n$ with $p+n = 2(c+n)$

Solución:

Sean $p$ y $c$ las edades actuales de Pete y Claire. Entonces $p-2 = 3(c-2)$ y $p-4 = 4(c-4).$

Al resolver se obtiene $p = 20$ y $c = 8,$ así que Pete es $12$ años mayor que Claire.

La razón es $2 : 1$ cuando Claire tiene $12,$ lo cual es dentro de $12 - 8 = 4$ años.

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Let $p$ and $c$ be Pete’s and Claire’s current ages. Then $p-2 = 3(c-2)$ and $p-4 = 4(c-4).$

Solving these gives $p = 20$ and $c = 8,$ so Pete is $12$ years older than Claire.

The ratio is $2 : 1$ when Claire is $12,$ which is $12 - 8 = 4$ years from now.

Thus, the correct answer is B.

7.

Dos cilindros circulares rectos tienen el mismo volumen. El radio del segundo cilindro es $10\%$ mayor que el radio del primero. ¿Cuál es la relación entre las alturas de los dos cilindros?

Two right circular cylinders have the same volume. The radius of the second cylinder is $10\%$ more than the radius of the first. What is the relationship between the heights of the two cylinders?

La segunda altura es $10\%$ menor que la primera.

The second height is $10\%$ less than the first.

La primera altura es $10\%$ mayor que la segunda.

The first height is $10\%$ more than the second.

La segunda altura es $21\%$ menor que la primera.

The second height is $21\%$ less than the first.

La primera altura es $21\%$ mayor que la segunda.

The first height is $21\%$ more than the second.

La segunda altura es $80\%$ de la primera.

The second height is $80\%$ of the first.

Conceptos:cilindro volumen porcentaje

Nivel de dificultad: 1380

Pista pequeña:

Volúmenes iguales dan $\pi r^2 h = \pi R^2 H$ con $R = 1.1r$ .

Equal volumes give $\pi r^2 h = \pi R^2 H$ with $R = 1.1r$

Pista grande:

Divide por $\pi r^2$ para comparar $h$ y $H;$ nota que $1.1^2 = 1.21$ .

Divide by $\pi r^2$ to compare $h$ and $H;$ note $1.1^2 = 1.21$

Solución:

Sean $r,h$ y $R,H$ los radios y alturas del primer y segundo cilindro. Los volúmenes son iguales, así que $\pi r^2 h = \pi R^2 H,$ y $R = 1.1r.$

Entonces $\pi r^2 h = \pi(1.1r)^2 H$ $= \pi(1.21 r^2) H.$ Dividiendo por $\pi r^2$ se obtiene $h = 1.21H,$ así que la primera altura es $21\%$ mayor que la segunda.

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Let $r,h$ and $R,H$ be the radii and heights of the first and second cylinders. The volumes are equal, so $\pi r^2 h = \pi R^2 H,$ and $R = 1.1r.$

Then $\pi r^2 h = \pi(1.1r)^2 H$ $= \pi(1.21 r^2) H.$ Dividing by $\pi r^2$ yields $h = 1.21H,$ so the first height is $21\%$ more than the second.

Thus, the correct answer is D.

8.

La razón del largo al ancho de un rectángulo es $4 : 3.$ Si el rectángulo tiene una diagonal de longitud $d,$ entonces el área puede expresarse como $kd^2$ para cierta constante $k.$ ¿Cuánto vale $k$ ?

The ratio of the length to the width of a rectangle is $4 : 3.$ If the rectangle has diagonal of length $d,$ then the area may be expressed as $kd^2$ for some constant $k.$ What is $k?$

$\dfrac{2}{7}$

$\dfrac{3}{7}$

$\dfrac{12}{25}$

$\dfrac{16}{25}$

$\dfrac{3}{4}$

Conceptos:Teorema de Pitágoras razón y proporción área

Nivel de dificultad: 1440

Pista pequeña:

Toma los lados como $4a$ y $3a,$ así que la diagonal es $5a$

Let the sides be $4a$ and $3a,$ so the diagonal is $5a$

Pista grande:

Escribe el área $12a^2$ en términos de $d = 5a$

Write the area $12a^2$ in terms of $d = 5a$

Solución:

Sean los lados del rectángulo $4a$ y $3a.$ Por el teorema de Pitágoras la diagonal es $5a = d,$ así que $a = \dfrac{d}{5}.$

El área es $4a\cdot 3a = 12a^2$ $= 12\left(\dfrac{d}{5}\right)^2$ $= \dfrac{12}{25}d^2,$ así que $k = \dfrac{12}{25}.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Let the sides of the rectangle be $4a$ and $3a.$ By the Pythagorean Theorem the diagonal is $5a = d,$ so $a = \dfrac{d}{5}.$

The area is $4a\cdot 3a = 12a^2$ $= 12\left(\dfrac{d}{5}\right)^2$ $= \dfrac{12}{25}d^2,$ so $k = \dfrac{12}{25}.$

Thus, the correct answer is C.

9.

Una caja contiene $2$ canicas rojas, $2$ canicas verdes y $2$ canicas amarillas. Carol toma $2$ canicas de la caja al azar; luego Claudia toma $2$ de las canicas restantes al azar; y después Cheryl toma las últimas $2$ canicas. ¿Cuál es la probabilidad de que Cheryl obtenga $2$ canicas del mismo color?

A box contains $2$ red marbles, $2$ green marbles, and $2$ yellow marbles. Carol takes $2$ marbles from the box at random; then Claudia takes $2$ of the remaining marbles at random; and then Cheryl takes the last $2$ marbles. What is the probability that Cheryl gets $2$ marbles of the same color?

$\dfrac{1}{10}$

$\dfrac{1}{6}$

$\dfrac{1}{5}$

$\dfrac{1}{3}$

$\dfrac{1}{2}$

Conceptos:probabilidad básica simetría

Nivel de dificultad: 1500

Pista pequeña:

Como todas las extracciones son al azar, las canicas de Cheryl son simplemente un par aleatorio de las seis

Because all draws are random, Cheryl’s marbles are just a random pair of the six

Pista grande:

Fija su primera canica; su segunda tiene la misma probabilidad de ser cualquiera de las otras $5$

Fix her first marble; her second is equally likely to be any of the other $5$

Solución:

Como las canicas que quedan para Cheryl se determinan al azar, sus dos canicas tienen la misma probabilidad de ser cualquier par. Fijando su primera canica, la segunda tiene la misma probabilidad de ser cualquiera de las $5$ canicas restantes.

Exactamente una de esas $5$ coincide en color con la primera canica, así que la probabilidad es $\dfrac{1}{5}.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Because the marbles left for Cheryl are determined at random, her two marbles are equally likely to be any pair. Fixing her first marble, the second is equally likely to be any of the $5$ remaining marbles.

Exactly one of those $5$ matches the first marble in color, so the probability is $\dfrac{1}{5}.$

Thus, the correct answer is C.

10.

Los enteros $x$ y $y$ con $x \gt y \gt 0$ satisfacen $x+y+xy = 80.$ ¿Cuánto vale $x$ ?

Integers $x$ and $y$ with $x \gt y \gt 0$ satisfy $x+y+xy = 80.$ What is $x?$

$8$

$10$

$15$

$18$

$26$

Conceptos:Truco de factorización favorito de Simon Ecuación diofántica

Nivel de dificultad: 1530

Pista pequeña:

Suma $1$ a ambos lados para que el lado izquierdo se factorice

Add $1$ to both sides so the left side factors

Pista grande:

$(x+1)(y+1) = 81;$ usa $x \gt y \gt 0$ con $81 = 3^4$

$(x+1)(y+1) = 81;$ use $x \gt y \gt 0$ with $81 = 3^4$

Solución:

Sumando $1$ a ambos lados y factorizando se obtiene $(x+1)(y+1) = 81 = 3^4.$

Como $x$ y $y$ son enteros positivos distintos con $x \gt y,$ la única posibilidad es $x+1 = 3^3 = 27$ y $y+1 = 3.$ Por lo tanto $x = 26.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

Adding $1$ to both sides and factoring gives $(x+1)(y+1) = 81 = 3^4.$

Because $x$ and $y$ are distinct positive integers with $x \gt y,$ the only possibility is $x+1 = 3^3 = 27$ and $y+1 = 3.$ Therefore $x = 26.$

Thus, the correct answer is E.

11.

En una hoja de papel, Isabella dibuja un círculo de radio $2,$ un círculo de radio $3,$ y todas las rectas posibles simultáneamente tangentes a ambos círculos. Isabella observa que ha dibujado exactamente $k \ge 0$ rectas. ¿Cuántos valores diferentes de $k$ son posibles?

On a sheet of paper, Isabella draws a circle of radius $2,$ a circle of radius $3,$ and all possible lines simultaneously tangent to both circles. Isabella notices that she has drawn exactly $k \ge 0$ lines. How many different values of $k$ are possible?

$2$

$3$

$4$

$5$

$6$

Conceptos:recta tangente círculo análisis por casos

Nivel de dificultad: 1570

Pista pequeña:

El número de tangentes comunes depende de cómo estén posicionados los dos círculos

The number of common tangents depends on how the two circles are positioned

Pista grande:

Mueve los círculos desde uno dentro del otro hasta completamente separados y cuenta en cada etapa

Move the circles from one inside the other out to fully separated and count at each stage

Solución:

El número de rectas tangentes comunes depende de la posición relativa de los dos círculos:

Si el círculo menor está dentro del mayor, hay $0$ tangentes. Si son tangentes internamente, hay $1.$ Si los círculos se cortan en dos puntos, hay $2.$ Si son tangentes externamente, hay $3.$ Si están separados, hay $4.$

Así $k$ puede ser cualquiera de $0, 1, 2, 3, 4,$ lo que da $5$ valores posibles.

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

The number of common tangent lines depends on the relative position of the two circles:

If the smaller circle is inside the larger, there are $0$ tangents. If it is internally tangent, there is $1.$ If the circles intersect at two points, there are $2.$ If they are externally tangent, there are $3.$ If they are separated, there are $4.$

Thus $k$ can be any of $0, 1, 2, 3, 4,$ which gives $5$ possible values.

Thus, the correct answer is D.

12.

Las parábolas $y = ax^2 - 2$ y $y = 4 - bx^2$ cortan a los ejes coordenados en exactamente cuatro puntos, y estos cuatro puntos son los vértices de un cometa de área $12.$ ¿Cuánto vale $a + b$ ?

The parabolas $y = ax^2 - 2$ and $y = 4 - bx^2$ intersect the coordinate axes in exactly four points, and these four points are the vertices of a kite of area $12.$ What is $a + b?$

$1$

$1.5$

$2$

$2.5$

$3$

Conceptos:parábola cometa geometría analítica área

Nivel de dificultad: 1630

Pista pequeña:

Las dos intersecciones con el eje $y$ son $-2$ y $4;$ las intersecciones con el eje $x$ son simétricas respecto al eje $y$

The two $y$ -intercepts are $-2$ and $4;$ the $x$ -intercepts are symmetric about the $y$ -axis

Pista grande:

Las diagonales del cometa son la distancia vertical $6$ y la extensión horizontal de las intersecciones con el eje $x$

The kite’s diagonals are the vertical distance $6$ and the horizontal spread of the $x$ -intercepts

Solución:

Las intersecciones con el eje $y$ de las dos parábolas son $-2$ y $4.$ Para cortar el eje $x$ , la primera parábola abre hacia arriba y la segunda hacia abajo, así que sus intersecciones con el eje $x$ son $\pm t$ para algún $t \gt 0.$

El cometa tiene una diagonal de longitud $4 - (-2) = 6$ a lo largo del eje $y$ y la otra de longitud $2t.$ Su área es $\dfrac{1}{2}\cdot 6\cdot 2t = 6t = 12,$ así que $t = 2.$

Así, las intersecciones con el eje $x$ son $\pm 2.$ Para la primera parábola, $0 = a(2)^2 - 2$ da $a = \dfrac{1}{2};$ para la segunda, $0 = 4 - b(2)^2$ da $b = 1.$ Por lo tanto $a + b = 1.5.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

The $y$ -intercepts of the two parabolas are $-2$ and $4.$ To intersect the $x$ -axis, the first parabola opens upward and the second opens downward, so their $x$ -intercepts are $\pm t$ for some $t \gt 0.$

The kite has one diagonal of length $4 - (-2) = 6$ along the $y$ -axis and the other of length $2t.$ Its area is $\dfrac{1}{2}\cdot 6\cdot 2t = 6t = 12,$ so $t = 2.$

Thus the $x$ -intercepts are $\pm 2.$ For the first parabola, $0 = a(2)^2 - 2$ gives $a = \dfrac{1}{2};$ for the second, $0 = 4 - b(2)^2$ gives $b = 1.$ Therefore $a + b = 1.5.$

Thus, the correct answer is B.

13.

Una liga con $12$ equipos celebra un torneo de todos contra todos, en el que cada equipo juega contra cada uno de los demás exactamente una vez. Los partidos terminan con un equipo victorioso o bien terminan en empate. Un equipo obtiene $2$ puntos por cada partido que gana y $1$ punto por cada partido que empata. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones sobre la lista de $12$ puntuaciones no es verdadera?

A league with $12$ teams holds a round-robin tournament, with each team playing every other team exactly once. Games either end with one team victorious or else end in a draw. A team scores $2$ points for every game it wins and $1$ point for every game it draws. Which of the following is not a true statement about the list of $12$ scores?

Debe haber un número par de puntuaciones impares.

There must be an even number of odd scores.

Debe haber un número par de puntuaciones pares.

There must be an even number of even scores.

No puede haber dos puntuaciones de $0.$

There cannot be two scores of $0.$

La suma de las puntuaciones debe ser al menos $100.$

The sum of the scores must be at least $100.$

La puntuación más alta debe ser al menos $12.$

The highest score must be at least $12.$

Conceptos:paridad invariante contraejemplo

Nivel de dificultad: 1660

Pista pequeña:

Cada partido aporta exactamente $2$ puntos en total, así que la suma de todas las puntuaciones es fija

Every game contributes exactly $2$ points in total, so the sum of all scores is fixed

Pista grande:

Considera qué pasa si absolutamente todos los partidos terminan en empate

Consider what happens if every single game ends in a draw

Solución:

Cada uno de los $12$ equipos juega $11$ partidos, así que se juegan $\dfrac{12\cdot 11}{2} = 66$ partidos, y cada partido añade $2$ puntos a la lista. El total de todas las puntuaciones es $66\cdot 2 = 132.$

Si todos los partidos son empate, cada equipo obtiene $11,$ así que la puntuación más alta no necesita llegar a $12;$ por lo tanto la afirmación $\text{(E)}$ puede fallar. Las otras afirmaciones siempre se cumplen: la suma $132 \ge 100,$ el que la suma sea par obliga a que haya un número par de puntuaciones impares y por tanto un número par de puntuaciones pares, y dos equipos no pueden obtener ambos $0$ porque su partido mutuo le da al menos un punto a uno de ellos.

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

Each of the $12$ teams plays $11$ games, so $\dfrac{12\cdot 11}{2} = 66$ games are played, and each game adds $2$ points to the list. The total of all scores is $66\cdot 2 = 132.$

If every game is a draw, each team scores $11,$ so the highest score need not reach $12;$ thus statement $\text{(E)}$ can fail. The other statements always hold: the sum $132 \ge 100,$ the sum being even forces an even number of odd scores and hence an even number of even scores, and two teams cannot both score $0$ because their mutual game gives at least one of them a point.

Thus, the correct answer is E.

14.

¿Cuál es el valor de $a$ para el cual $\dfrac{1}{\log_2 a} + \dfrac{1}{\log_3 a} + \dfrac{1}{\log_4 a} = 1?$

What is the value of $a$ for which $\dfrac{1}{\log_2 a} + \dfrac{1}{\log_3 a} + \dfrac{1}{\log_4 a} = 1?$

$9$

$12$

$18$

$24$

$36$

Conceptos:logaritmo

Nivel de dificultad: 1730

Pista pequeña:

$\dfrac{1}{\log_b a} = \log_a b$ .

$\dfrac{1}{\log_b a} = \log_a b$

Pista grande:

La suma se convierte en $\log_a(2\cdot 3\cdot 4)$

The sum becomes $\log_a(2\cdot 3\cdot 4)$

Solución:

Por la fórmula de cambio de base, $\dfrac{1}{\log_b a} = \log_a b.$ Por lo tanto $\begin{aligned} &1 = \log_a 2 + \log_a 3 \\ &\quad {}+ \log_a 4 = \log_a 24. \end{aligned}$

De esto se sigue que $a = 24.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

By the change-of-base formula, $\dfrac{1}{\log_b a} = \log_a b.$ Therefore $\begin{aligned} &1 = \log_a 2 + \log_a 3 \\ &\quad {}+ \log_a 4 = \log_a 24. \end{aligned}$

It follows that $a = 24.$

Thus, the correct answer is D.

15.

¿Cuál es el número mínimo de dígitos a la derecha del punto decimal necesarios para expresar la fracción $\dfrac{123456789}{2^{26}\cdot 5^4}$ como decimal?

What is the minimum number of digits to the right of the decimal point needed to express the fraction $\dfrac{123456789}{2^{26}\cdot 5^4}$ as a decimal?

$4$

$22$

$26$

$30$

$104$

Conceptos:decimal factorización en primos

Nivel de dificultad: 1800

Pista pequeña:

El numerador no comparte ningún factor de $2$ o $5$ con el denominador.

The numerator shares no factor of $2$ or $5$ with the denominator

Pista grande:

Multiplica el numerador y el denominador para convertir el denominador en una potencia de $10$

Multiply the top and bottom to turn the denominator into a power of $10$

Solución:

El numerador y el denominador no comparten factores comunes. Para escribir la fracción como decimal, reescríbela con una potencia de $10$ en el denominador; la menor que funciona es $10^{26}:$ $\dfrac{123456789}{2^{26}\cdot 5^4} = \dfrac{123456789\cdot 5^{22}}{10^{26}}.$

Como el numerador $123456789\cdot 5^{22}$ no es divisible por $10,$ el decimal tiene exactamente $26$ cifras después del punto.

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

The numerator and denominator share no common factors. To write the fraction as a decimal, rewrite it with a power of $10$ in the denominator; the smallest that works is $10^{26}:$ $\dfrac{123456789}{2^{26}\cdot 5^4} = \dfrac{123456789\cdot 5^{22}}{10^{26}}.$

Since the numerator $123456789\cdot 5^{22}$ is not divisible by $10,$ the decimal has exactly $26$ places after the point.

Thus, the correct answer is C.

16.

El tetraedro $ABCD$ tiene $AB = 5,$ $AC = 3,$ $BC = 4,$ $BD = 4,$ $AD = 3,$ y $CD = \dfrac{12}{5}\sqrt{2}.$ ¿Cuál es el volumen del tetraedro?

Tetrahedron $ABCD$ has $AB = 5,$ $AC = 3,$ $BC = 4,$ $BD = 4,$ $AD = 3,$ and $CD = \dfrac{12}{5}\sqrt{2}.$ What is the volume of the tetrahedron?

$3\sqrt{2}$

$2\sqrt{5}$

$\dfrac{24}{5}$

$3\sqrt{3}$

$\dfrac{24}{5}\sqrt{2}$

Conceptos:Geometría 3D volumen triángulo rectángulo

Nivel de dificultad: 1840

Pista pequeña:

Los triángulos $ABC$ y $ABD$ son ambos triángulos rectángulos $3$ - $4$ - $5$ que comparten el lado $AB$

Triangles $ABC$ and $ABD$ are both $3$ - $4$ - $5$ right triangles sharing the edge $AB$

Pista grande:

Traza alturas desde $C$ y $D$ hacia $AB;$ su pie común muestra que $CD$ es perpendicular a la base $ABC$

Drop altitudes from $C$ and $D$ to $AB;$ their common foot shows $CD$ is perpendicular to base $ABC$

Solución:

Los triángulos $ABC$ y $ABD$ son triángulos rectángulos $3$ - $4$ - $5$ con área $6$ e hipotenusa común $AB.$ Sea $E$ el pie de la altura desde $C$ hacia $AB;$ entonces $CE = \dfrac{3\cdot 4}{5} = \dfrac{12}{5}.$ De igual modo, la altura desde $D$ llega a $AB$ en el mismo punto $E$ con $DE = \dfrac{12}{5}.$

El triángulo $CDE$ tiene lados $\dfrac{12}{5},$ $\dfrac{12}{5},$ y $CD = \dfrac{12}{5}\sqrt{2},$ así que es un triángulo rectángulo isósceles con el ángulo recto en $E.$ Por lo tanto $DE \perp CE$ y $DE \perp AB,$ lo que hace que $DE$ sea perpendicular al plano de $ABC.$

El volumen del tetraedro es $\dfrac{1}{3}\cdot [ABC]\cdot DE = \dfrac{1}{3}\cdot 6\cdot \dfrac{12}{5}$ $= \dfrac{24}{5}.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Triangles $ABC$ and $ABD$ are $3$ - $4$ - $5$ right triangles with area $6$ and common hypotenuse $AB.$ Let $E$ be the foot of the altitude from $C$ to $AB;$ then $CE = \dfrac{3\cdot 4}{5} = \dfrac{12}{5}.$ Likewise the altitude from $D$ meets $AB$ at the same point $E$ with $DE = \dfrac{12}{5}.$

Triangle $CDE$ has sides $\dfrac{12}{5},$ $\dfrac{12}{5},$ and $CD = \dfrac{12}{5}\sqrt{2},$ so it is an isosceles right triangle with the right angle at $E.$ Thus $DE \perp CE$ and $DE \perp AB,$ making $DE$ perpendicular to the plane of $ABC.$

The tetrahedron’s volume is $\dfrac{1}{3}\cdot [ABC]\cdot DE = \dfrac{1}{3}\cdot 6\cdot \dfrac{12}{5}$ $= \dfrac{24}{5}.$

Thus, the correct answer is C.

17.

Ocho personas están sentadas alrededor de una mesa circular, cada una con una moneda justa. Las ocho personas lanzan sus monedas y quienes obtienen cara se ponen de pie, mientras que quienes obtienen cruz permanecen sentados. ¿Cuál es la probabilidad de que no haya dos personas adyacentes de pie?

Eight people are sitting around a circular table, each holding a fair coin. All eight people flip their coins and those who flip heads stand while those who flip tails remain seated. What is the probability that no two adjacent people will stand?

$\dfrac{47}{256}$

$\dfrac{3}{16}$

$\dfrac{49}{256}$

$\dfrac{25}{128}$

$\dfrac{51}{256}$

Conceptos:arreglos circulares probabilidad básica análisis por casos

Nivel de dificultad: 1910

Pista pequeña:

Hay $2^8 = 256$ resultados igualmente probables; cuenta aquellos sin dos caras adyacentes

There are $2^8 = 256$ equally likely outcomes; count those with no two adjacent heads

Pista grande:

Agrupa por el número de personas de pie $(0,1,2,3,4);$ más de $4$ fuerza una adyacencia

Group by the number of people standing $(0,1,2,3,4);$ more than $4$ forces an adjacency

Solución:

Hay $2^8 = 256$ resultados igualmente probables. Cuenta las disposiciones de personas de pie (caras) sin dos adyacentes alrededor del círculo de $8$ asientos, agrupadas por cuántas personas se ponen de pie.

El número de maneras de elegir $k$ asientos no adyacentes de un círculo de $n$ es $\dfrac{n}{n-k}\dbinom{n-k}{k}.$ Para $n = 8$ esto da $1,\; 8,\; 20,\; 16,\; 2$ para $k = 0,1,2,3,4,$ y más de $4$ personas de pie es imposible sin una adyacencia.

El total es $1 + 8 + 20 + 16 + 2 = 47,$ así que la probabilidad es $\dfrac{47}{256}.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

There are $2^8 = 256$ equally likely outcomes. Count the arrangements of standers (heads) with no two adjacent around the circle of $8$ seats, grouped by how many people stand.

The number of ways to choose $k$ non-adjacent seats from a circle of $n$ is $\dfrac{n}{n-k}\dbinom{n-k}{k}.$ For $n = 8$ this gives $1,\; 8,\; 20,\; 16,\; 2$ for $k = 0,1,2,3,4,$ and more than $4$ standers is impossible without an adjacency.

The total is $1 + 8 + 20 + 16 + 2 = 47,$ so the probability is $\dfrac{47}{256}.$

Thus, the correct answer is A.

18.

Los ceros de la función $f(x) = x^2 - ax + 2a$ son enteros. ¿Cuál es la suma de los posibles valores de $a$ ?

The zeros of the function $f(x) = x^2 - ax + 2a$ are integers. What is the sum of the possible values of $a?$

$7$

$8$

$16$

$17$

$18$

Conceptos:Fórmulas de Vieta Truco de factorización favorito de Simon

Nivel de dificultad: 1990

Pista pequeña:

Si las raíces enteras son $p,q$ entonces $p+q = a$ y $pq = 2a$ .

If the integer roots are $p,q$ then $p+q = a$ and $pq = 2a$

Pista grande:

Elimina $a$ para obtener $pq = 2(p+q),$ es decir $(p-2)(q-2) = 4$

Eliminate $a$ to get $pq = 2(p+q),$ i.e. $(p-2)(q-2) = 4$

Solución:

Sean los ceros enteros $p$ y $q.$ Por las fórmulas de Vieta $p + q = a$ y $pq = 2a,$ así que $pq = 2(p+q).$ Reordenando se obtiene $(p-2)(q-2) = 4.$

Los pares de factores enteros de $4$ son $(1,4),$ $(2,2),$ $(4,1),$ $(-1,-4),$ $(-2,-2),$ $(-4,-1),$ que dan pares $(p,q)$ cuyas sumas son $a = 9, 8, -1,$ y $0.$

Los distintos valores posibles de $a$ son $9, 8, 0, -1,$ cuya suma es $16.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Let the integer zeros be $p$ and $q.$ By Vieta’s formulas $p + q = a$ and $pq = 2a,$ so $pq = 2(p+q).$ Rearranging gives $(p-2)(q-2) = 4.$

The integer factor pairs of $4$ are $(1,4),$ $(2,2),$ $(4,1),$ $(-1,-4),$ $(-2,-2),$ $(-4,-1),$ which yield $(p,q)$ pairs summing to $a = 9, 8, -1,$ and $0.$

The distinct possible values of $a$ are $9, 8, 0, -1,$ whose sum is $16.$

Thus, the correct answer is C.

19.

Para algunos enteros positivos $p,$ existe un cuadrilátero $ABCD$ con longitudes de lado enteras positivas, perímetro $p,$ ángulos rectos en $B$ y $C,$ $AB = 2,$ y $CD = AD.$ ¿Cuántos valores diferentes de $p \lt 2015$ son posibles?

For some positive integers $p,$ there is a quadrilateral $ABCD$ with positive integer side lengths, perimeter $p,$ right angles at $B$ and $C,$ $AB = 2,$ and $CD = AD.$ How many different values of $p \lt 2015$ are possible?

$30$

$31$

$61$

$62$

$63$

Conceptos:Teorema de Pitágoras conteo de enteros en un rango

Nivel de dificultad: 2010

Pista pequeña:

Traza una perpendicular desde $A$ hacia $\overline{CD};$ con los ángulos rectos en $B,C,$ eso crea un rectángulo

Drop a perpendicular from $A$ to $\overline{CD};$ with right angles at $B,C,$ that creates a rectangle

Pista grande:

Si $AE = x$ y $DE = y$ entonces $x^2 + y^2 = (2+y)^2,$ lo que obliga a que $x$ sea par

If $AE = x$ and $DE = y$ then $x^2 + y^2 = (2+y)^2,$ which forces $x$ to be even

Solución:

En todo cuadrilátero de este tipo $CD \ge AB.$ Sea $E$ el pie de la perpendicular desde $A$ hacia $\overline{CD};$ entonces $CE = 2$ y $AE = BC.$ Sea $x = AE$ y $y = DE,$ así que $AD = 2 + y.$

Por el teorema de Pitágoras $x^2 + y^2 = (2+y)^2,$ así que $x^2 = 4 + 4y$ y $x$ es par. Escribiendo $x = 2z$ se obtiene $y = z^2 - 1,$ y el perímetro es $x + 2y + 6 = 2z^2 + 2z + 4.$

Los valores crecientes $z = 1, 2, 3, \dots$ dan los cuadriláteros requeridos con perímetro creciente. Para $z = 31$ el perímetro es $1988,$ y para $z = 32$ es $2116.$ Por lo tanto hay $31$ valores posibles de $p \lt 2015.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

In every such quadrilateral $CD \ge AB.$ Let $E$ be the foot of the perpendicular from $A$ to $\overline{CD};$ then $CE = 2$ and $AE = BC.$ Let $x = AE$ and $y = DE,$ so $AD = 2 + y.$

By the Pythagorean Theorem $x^2 + y^2 = (2+y)^2,$ so $x^2 = 4 + 4y$ and $x$ is even. Writing $x = 2z$ gives $y = z^2 - 1,$ and the perimeter is $x + 2y + 6 = 2z^2 + 2z + 4.$

Increasing values $z = 1, 2, 3, \dots$ give the required quadrilaterals with increasing perimeter. For $z = 31$ the perimeter is $1988,$ and for $z = 32$ it is $2116.$ Therefore there are $31$ possible values of $p \lt 2015.$

Thus, the correct answer is B.

20.

Los triángulos isósceles $T$ y $T'$ no son congruentes pero tienen la misma área y el mismo perímetro. Los lados de $T$ miden $5,$ $5,$ y $8,$ mientras que los de $T'$ miden $a,$ $a,$ y $b.$ ¿Cuál de los siguientes números es el más cercano a $b$ ?

Isosceles triangles $T$ and $T'$ are not congruent but have the same area and the same perimeter. The sides of $T$ have lengths $5,$ $5,$ and $8,$ while those of $T'$ have lengths $a,$ $a,$ and $b.$ Which of the following numbers is closest to $b?$

$3$

$4$

$5$

$6$

$8$

Conceptos:triángulo isósceles sistema de ecuaciones polinomio

Nivel de dificultad: 2110

Pista pequeña:

$T$ tiene perímetro $18$ y área $12;$ escribe esas mismas dos condiciones para $T'$

$T$ has perimeter $18$ and area $12;$ write those same two conditions for $T'$

Pista grande:

Elimina $a$ usando $2a + b = 18;$ llegas a una cúbica con la raíz extraña $b = 8$ que se puede factorizar

Eliminate $a$ using $2a + b = 18;$ you reach a cubic with the extraneous root $b = 8$ to factor out

Solución:

La altura de $T$ sobre su base de longitud $8$ es $\sqrt{5^2 - 4^2} = 3,$ así que $T$ tiene área $\dfrac{1}{2}\cdot 8\cdot 3 = 12$ y perímetro $18.$

Para $T'$ necesitamos $2a + b = 18$ y área $\dfrac{1}{4}b\sqrt{4a^2 - b^2} = 12.$ Sustituyendo $a = \dfrac{18 - b}{2}$ y elevando al cuadrado se llega a $(b - 8)(b^2 - b - 8) = 0.$

Como $T$ y $T'$ no son congruentes, $b \ne 8,$ así que $b^2 - b - 8 = 0$ y $b = \dfrac{1 + \sqrt{33}}{2}.$ Como $25 \lt 33 \lt 36,$ esto está entre $3$ y $3.5,$ así que el entero más cercano es $3.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

The altitude of $T$ to its base of length $8$ is $\sqrt{5^2 - 4^2} = 3,$ so $T$ has area $\dfrac{1}{2}\cdot 8\cdot 3 = 12$ and perimeter $18.$

For $T'$ we need $2a + b = 18$ and area $\dfrac{1}{4}b\sqrt{4a^2 - b^2} = 12.$ Substituting $a = \dfrac{18 - b}{2}$ and squaring leads to $(b - 8)(b^2 - b - 8) = 0.$

Since $T$ and $T'$ are not congruent, $b \ne 8,$ so $b^2 - b - 8 = 0$ and $b = \dfrac{1 + \sqrt{33}}{2}.$ Because $25 \lt 33 \lt 36,$ this is between $3$ and $3.5,$ so the closest integer is $3.$

Thus, the correct answer is A.

21.

Un círculo de radio $r$ pasa por ambos focos, y por exactamente cuatro puntos, de la elipse de ecuación $x^2 + 16y^2 = 16.$ El conjunto de todos los valores posibles de $r$ es un intervalo $[a, b).$ ¿Cuánto vale $a + b$ ?

A circle of radius $r$ passes through both foci of, and exactly four points on, the ellipse with equation $x^2 + 16y^2 = 16.$ The set of all possible values of $r$ is an interval $[a, b).$ What is $a + b?$

$5\sqrt{2} + 4$

$\sqrt{17} + 7$

$6\sqrt{2} + 3$

$\sqrt{15} + 8$

$12$

Conceptos:elipse círculo geometría analítica

Nivel de dificultad: 2170

Pista pequeña:

La elipse es $\dfrac{x^2}{16} + y^2 = 1,$ con focos en $(\pm\sqrt{15}, 0)$

The ellipse is $\dfrac{x^2}{16} + y^2 = 1,$ with foci at $(\pm\sqrt{15}, 0)$

Pista grande:

Un círculo que pasa por ambos focos está centrado en $(0, k);$ exige que su punto más bajo quede fuera de la elipse

A circle through both foci is centered at $(0, k);$ require its bottom point to lie outside the ellipse

Solución:

La elipse $\dfrac{x^2}{16} + y^2 = 1$ tiene semiejes $4$ y $1,$ así que $c^2 = 16 - 1 = 15$ y los focos son $(\pm\sqrt{15}, 0).$

Un círculo que pasa por ambos focos tiene su centro en el eje $y$ , digamos $(0, k),$ con radio $\sqrt{k^2 + 15}.$ Su punto más alto siempre queda fuera de la elipse. Para tener cuatro puntos de intersección, su punto más bajo $(0, k - \sqrt{k^2 + 15})$ debe estar por debajo de $y = -1,$ lo que ocurre exactamente cuando $0 \le k \lt 7.$

Cuando $k$ recorre $[0, 7),$ el radio $\sqrt{k^2 + 15}$ recorre $[\sqrt{15}, 8),$ así que $a + b = \sqrt{15} + 8.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

The ellipse $\dfrac{x^2}{16} + y^2 = 1$ has semi-axes $4$ and $1,$ so $c^2 = 16 - 1 = 15$ and the foci are $(\pm\sqrt{15}, 0).$

A circle through both foci has its center on the $y$ -axis, say $(0, k),$ with radius $\sqrt{k^2 + 15}.$ Its top point always lies outside the ellipse. For four intersection points, its bottom point $(0, k - \sqrt{k^2 + 15})$ must be below $y = -1,$ which happens exactly when $0 \le k \lt 7.$

As $k$ ranges over $[0, 7),$ the radius $\sqrt{k^2 + 15}$ ranges over $[\sqrt{15}, 8),$ so $a + b = \sqrt{15} + 8.$

Thus, the correct answer is D.

22.

Para cada entero positivo $n,$ sea $S(n)$ el número de sucesiones de longitud $n$ formadas únicamente por las letras $A$ y $B,$ con no más de tres $A$ seguidas y no más de tres $B$ seguidas. ¿Cuál es el residuo cuando $S(2015)$ se divide entre $12$ ?

For each positive integer $n,$ let $S(n)$ be the number of sequences of length $n$ consisting solely of the letters $A$ and $B,$ with no more than three $A$ s in a row and no more than three $B$ s in a row. What is the remainder when $S(2015)$ is divided by $12?$

$0$

$4$

$6$

$8$

$10$

Conceptos:conteo recursivo aritmética modular Teorema chino del resto

Nivel de dificultad: 2270

Pista pequeña:

Una sucesión válida termina en una racha de $1,$ $2,$ o $3$ letras iguales, lo que da $S(n) = S(n-1)$ $+ S(n-2)$ $+ S(n-3)$

A valid sequence ends in a run of $1,$ $2,$ or $3$ equal letters, giving $S(n) = S(n-1)$ $+ S(n-2)$ $+ S(n-3)$

Pista grande:

Reduce la recurrencia módulo $3$ y módulo $4$ por separado para hallar su periodo

Reduce the recurrence modulo $3$ and modulo $4$ separately to find its period

Solución:

Observemos que $S(1) = 2,$ $S(2) = 4,$ $S(3) = 8.$ Toda sucesión válida termina con una racha de una, dos o tres letras iguales; al quitar esa racha queda una sucesión válida de longitud $n-1,$ $n-2,$ o $n-3.$ Por tanto, $\begin{aligned} &S(n) = S(n-1) + S(n-2) \\ &\quad {}+ S(n-3). \end{aligned}$

Módulo $3,$ los primeros $13$ términos son $2,1,2,2,2,0,1,0,1,2,0,0,2.$ Los tres siguientes son $2,1,2,$ que reproducen el estado inicial, así que la recurrencia se repite con período $13.$ Como $2015 = 13\cdot 155,$ se sigue que $S(2015) \equiv S(13) \equiv 2 \pmod 3.$

Módulo $4,$ los términos se repiten como $2,0,0,2,$ porque el estado de tres términos posterior a esos cuatro vuelve a ser $(2,0,0).$ Por tanto, el período es $4.$ Como $2015 = 4\cdot 503 + 3,$ tenemos $S(2015) \equiv S(3) \equiv 0 \pmod 4.$

Escribiendo $S(2015) = 4k,$ la condición $4k \equiv 2 \pmod 3$ da $k \equiv 2 \pmod 3,$ así que $S(2015) \equiv 8 \pmod{12}.$

Por tanto, la respuesta correcta es D.

Note $S(1) = 2,$ $S(2) = 4,$ $S(3) = 8.$ Every valid sequence ends in a run of one, two, or three equal letters; removing that run leaves a valid sequence of length $n-1,$ $n-2,$ or $n-3.$ Thus $\begin{aligned} &S(n) = S(n-1) + S(n-2) \\ &\quad {}+ S(n-3). \end{aligned}$

Modulo $3,$ the first $13$ terms are $2,1,2,2,2,0,1,0,1,2,0,0,2.$ The next three terms are $2,1,2,$ which reproduce the initial state, so the recurrence repeats with period $13.$ Since $2015 = 13\cdot 155,$ it follows that $S(2015) \equiv S(13) \equiv 2 \pmod 3.$

Modulo $4,$ the terms repeat as $2,0,0,2,$ because the next three-term state after these four terms is again $(2,0,0).$ Thus the period is $4.$ As $2015 = 4\cdot 503 + 3,$ we have $S(2015) \equiv S(3) \equiv 0 \pmod 4.$

Writing $S(2015) = 4k,$ the condition $4k \equiv 2 \pmod 3$ gives $k \equiv 2 \pmod 3,$ so $S(2015) \equiv 8 \pmod{12}.$

Thus, the correct answer is D.

23.

Sea $S$ un cuadrado de lado $1.$ Se eligen dos puntos de forma independiente y al azar sobre los lados de $S.$ La probabilidad de que la distancia en línea recta entre los puntos sea al menos $\dfrac12$ es $\dfrac{a - b\pi}{c},$ donde $a,$ $b,$ y $c$ son enteros positivos y $\gcd(a, b, c) = 1.$ ¿Cuánto vale $a + b + c$ ?

Let $S$ be a square of side length $1.$ Two points are chosen independently at random on the sides of $S.$ The probability that the straight-line distance between the points is at least $\dfrac12$ is $\dfrac{a - b\pi}{c},$ where $a,$ $b,$ and $c$ are positive integers and $\gcd(a, b, c) = 1.$ What is $a + b + c?$

$59$

$60$

$61$

$62$

$63$

Conceptos:probabilidad geométrica análisis por casos

Nivel de dificultad: 2380

Pista pequeña:

Condiciona según si los dos puntos están en el mismo lado, en lados opuestos o en lados adyacentes

Condition on whether the two points lie on the same side, opposite sides, or adjacent sides

Pista grande:

El caso de lados adyacentes produce el término $\pi$ mediante un cuarto de círculo de radio $\dfrac12$

The adjacent-sides case produces the $\pi$ term via a quarter-circle of radius $\dfrac12$

Solución:

El segundo punto está en el mismo lado que el primero con probabilidad $\dfrac14,$ en el lado opuesto con probabilidad $\dfrac14,$ y en un lado adyacente con probabilidad $\dfrac12.$

Lados opuestos: la distancia siempre es al menos $1 \ge \dfrac12$ , probabilidad $1.$

Mismo lado: para los puntos $(a, 0)$ y $(b, 0),$ la condición $|a - b| \ge \dfrac12$ tiene probabilidad $\dfrac14.$

Lados adyacentes: para los puntos $(a, 0)$ y $(0, b),$ la condición $\sqrt{a^2 + b^2} \ge \dfrac12$ es la región fuera de un cuarto de círculo de radio $\dfrac12,$ con probabilidad $1 - \dfrac14\pi\left(\dfrac12\right)^2 = 1 - \dfrac{\pi}{16}.$

La probabilidad total es $\begin{aligned} &\dfrac14\cdot 1 + \dfrac14\cdot\dfrac14 \\ &\quad {}+ \dfrac12\left(1 - \dfrac{\pi}{16}\right) \\ &\quad = \dfrac{26 - \pi}{32}. \end{aligned}$ Así $a + b + c = 26 + 1 + 32 = 59.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

The second point is on the same side as the first with probability $\dfrac14,$ on the opposite side with probability $\dfrac14,$ and on an adjacent side with probability $\dfrac12.$

Opposite sides: the distance is at least $1 \ge \dfrac12$ always, probability $1.$

Same side: for points $(a, 0)$ and $(b, 0),$ the condition $|a - b| \ge \dfrac12$ has probability $\dfrac14.$

Adjacent sides: for points $(a, 0)$ and $(0, b),$ the condition $\sqrt{a^2 + b^2} \ge \dfrac12$ is the region outside a quarter-circle of radius $\dfrac12,$ with probability $1 - \dfrac14\pi\left(\dfrac12\right)^2 = 1 - \dfrac{\pi}{16}.$

The total probability is $\begin{aligned} &\dfrac14\cdot 1 + \dfrac14\cdot\dfrac14 \\ &\quad {}+ \dfrac12\left(1 - \dfrac{\pi}{16}\right) \\ &\quad = \dfrac{26 - \pi}{32}. \end{aligned}$ Thus $a + b + c = 26 + 1 + 32 = 59.$

Thus, the correct answer is A.

24.

Los números racionales $a$ y $b$ se eligen al azar entre todos los números racionales del intervalo $[0, 2)$ que pueden escribirse como fracciones $\dfrac{n}{d}$ donde $n$ y $d$ son enteros con $1 \le d \le 5.$ ¿Cuál es la probabilidad de que $(\cos(a\pi) + i\sin(b\pi))^4$ sea un número real?

Rational numbers $a$ and $b$ are chosen at random among all rational numbers in the interval $[0, 2)$ that can be written as fractions $\dfrac{n}{d}$ where $n$ and $d$ are integers with $1 \le d \le 5.$ What is the probability that $(\cos(a\pi) + i\sin(b\pi))^4$ is a real number?

$\dfrac{3}{50}$

$\dfrac{4}{25}$

$\dfrac{41}{200}$

$\dfrac{6}{25}$

$\dfrac{13}{50}$

Conceptos:número complejo Teorema de De Moivre conteo básico

Nivel de dificultad: 2520

Pista pequeña:

$a$ y $b$ tienen cada uno $20$ valores permitidos; $(x + iy)^4$ es real si y solo si $x = 0,$ $y = 0,$ o $x = \pm y$ .

There are $20$ allowed values for each of $a$ and $b;$ $(x + iy)^4$ is real iff $x = 0,$ $y = 0,$ or $x = \pm y$

Pista grande:

Traduce eso a $\cos(a\pi) = 0,$ $\sin(b\pi) = 0,$ o $\cos(a\pi) = \pm\sin(b\pi)$

Translate those into $\cos(a\pi) = 0,$ $\sin(b\pi) = 0,$ or $\cos(a\pi) = \pm\sin(b\pi)$

Solución:

Hay $20$ valores posibles para cada uno de $a$ y $b.$ En forma reducida, los denominadores $1,2,3,4,5$ aportan respectivamente $2,2,4,4,8$ valores en $[0,2),$ para un total de $20.$

Escribamos $x = \cos(a\pi)$ y $y = \sin(b\pi),$ la cuarta potencia $(x + iy)^4$ es real si y solo si $x = 0,$ $y = 0,$ o $x = \pm y.$

El caso $x = 0$ significa $a \in \left\{\dfrac12, \dfrac32\right\},$ y da $2\cdot 20 = 40$ pares; el caso $y = 0$ significa $b \in \{0, 1\},$ y da otros $40$ pares, de los cuales $4$ ya se contaron.

Para la condición restante $\cos(a\pi) = \pm\sin(b\pi),$ con ambos lados distintos de cero, los valores permitidos de $b$ son $\dfrac14,$ $\dfrac12,$ $\dfrac34,$ $\dfrac54,$ $\dfrac32,$ y $\dfrac74.$ Las cantidades correspondientes de valores permitidos de $a$ son $4,2,4,4,2,4.$ Por ejemplo, cuando $b = \dfrac14,$ los valores son $a = \dfrac14,$ $\dfrac34,$ $\dfrac54,$ y $\dfrac74;$ los otros casos se obtienen con las mismas identidades de cuarto de vuelta. Así, esta condición aporta $4+2+4+4+2+4=20$ pares más.

En total hay $40 + 40 - 4 + 20 = 96$ pares válidos de $400,$ así que la probabilidad es $\dfrac{96}{400} = \dfrac{6}{25}.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

There are $20$ possible values for each of $a$ and $b.$ In reduced form, denominators $1,2,3,4,5$ contribute respectively $2,2,4,4,8$ values in $[0,2),$ for a total of $20.$

Writing $x = \cos(a\pi)$ and $y = \sin(b\pi),$ the fourth power $(x + iy)^4$ is real if and only if $x = 0,$ $y = 0,$ or $x = \pm y.$

The case $x = 0$ means $a \in \left\{\dfrac12, \dfrac32\right\},$ giving $2\cdot 20 = 40$ pairs; the case $y = 0$ means $b \in \{0, 1\},$ giving another $40$ pairs, of which $4$ were already counted.

For the remaining condition $\cos(a\pi) = \pm\sin(b\pi),$ with neither side zero, the allowed values of $b$ are $\dfrac14,$ $\dfrac12,$ $\dfrac34,$ $\dfrac54,$ $\dfrac32,$ and $\dfrac74.$ The corresponding numbers of allowed values of $a$ are respectively $4,2,4,4,2,4.$ For example, when $b = \dfrac14,$ the values are $a = \dfrac14,$ $\dfrac34,$ $\dfrac54,$ and $\dfrac74;$ the other rows follow from the same quarter-turn identities. Hence this condition contributes $4+2+4+4+2+4=20$ more pairs.

In all there are $40 + 40 - 4 + 20 = 96$ valid pairs out of $400,$ so the probability is $\dfrac{96}{400} = \dfrac{6}{25}.$

Thus, the correct answer is D.

25.

Una colección de círculos en el semiplano superior, todos tangentes al eje $x$ , se construye por capas de la siguiente manera. La capa $L_0$ consta de dos círculos de radios $70^2$ y $73^2$ que son tangentes externamente. Para $k \ge 1,$ los círculos en $\bigcup_{j=0}^{k-1} L_j$ se ordenan según sus puntos de tangencia con el eje $x$ . Para cada par de círculos consecutivos en este orden, se construye un nuevo círculo tangente externamente a cada uno de los dos círculos del par. La capa $L_k$ consta de los $2^{k-1}$ círculos construidos de esta manera. Sea $S = \bigcup_{j=0}^{6} L_j,$ y para cada círculo $C$ denota por $r(C)$ su radio. ¿Cuánto vale $\sum_{C \in S} \dfrac{1}{\sqrt{r(C)}}?$

A collection of circles in the upper half-plane, all tangent to the $x$ -axis, is constructed in layers as follows. Layer $L_0$ consists of two circles of radii $70^2$ and $73^2$ that are externally tangent. For $k \ge 1,$ the circles in $\bigcup_{j=0}^{k-1} L_j$ are ordered according to their points of tangency with the $x$ -axis. For every pair of consecutive circles in this order, a new circle is constructed externally tangent to each of the two circles in the pair. Layer $L_k$ consists of the $2^{k-1}$ circles constructed in this way. Let $S = \bigcup_{j=0}^{6} L_j,$ and for every circle $C$ denote by $r(C)$ its radius. What is $\sum_{C \in S} \dfrac{1}{\sqrt{r(C)}}?$

$\dfrac{286}{35}$

$\dfrac{583}{70}$

$\dfrac{715}{73}$

$\dfrac{143}{14}$

$\dfrac{1573}{146}$

Conceptos:circunferencias tangentes sucesión geométrica inducción

Nivel de dificultad: 2650

Pista pequeña:

Para un círculo encajado entre dos círculos tangentes a la misma recta, $\dfrac{1}{\sqrt{r}} = \dfrac{1}{\sqrt{r_1}} + \dfrac{1}{\sqrt{r_2}}$ .

For a circle nestled between two circles tangent to the same line, $\dfrac{1}{\sqrt{r}} = \dfrac{1}{\sqrt{r_1}} + \dfrac{1}{\sqrt{r_2}}$

Pista grande:

Sea $x = \dfrac{1}{70} + \dfrac{1}{73};$ las sumas de las capas son $x,$ $x,$ $3x,$ $9x, \dots$ .

Let $x = \dfrac{1}{70} + \dfrac{1}{73};$ the layer sums are $x,$ $x,$ $3x,$ $9x, \dots$

Solución:

Si un círculo de radio $r$ es tangente al eje $x$ y está encajado en el hueco entre dos círculos de radios $r_1$ y $r_2$ que también son tangentes al eje y entre sí, entonces $\dfrac{1}{\sqrt{r}} = \dfrac{1}{\sqrt{r_1}} + \dfrac{1}{\sqrt{r_2}}.$

Sea $x = \dfrac{1}{\sqrt{70^2}} + \dfrac{1}{\sqrt{73^2}}$ $= \dfrac{1}{70} + \dfrac{1}{73},$ que es la suma sobre $L_0.$ El único círculo de $L_1$ también aporta $x.$ Para $k \ge 2,$ cada nuevo círculo aporta la suma de sus dos vecinos, y cada círculo anterior se cuenta dos veces excepto los dos círculos de $L_0;$ esto da una suma de $3^{k-1}x$ sobre $L_k.$

Por lo tanto $\begin{gathered} \sum_{C \in S} \dfrac{1}{\sqrt{r(C)}} = x \\ {}+ \sum_{k=1}^{6} 3^{k-1}x \\ = x\left(1 + \dfrac{3^6 - 1}{2}\right) \\ = x\cdot\dfrac{3^6 + 1}{2} \\ = 365x. \end{gathered}$

Como $x = \dfrac{1}{70} + \dfrac{1}{73}$ $= \dfrac{143}{70\cdot 73}$ $= \dfrac{143}{5110},$ la suma es $365\cdot\dfrac{143}{5110} = \dfrac{143}{14}.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

If a circle of radius $r$ is tangent to the $x$ -axis and nestled in the crevice between two circles of radii $r_1$ and $r_2$ that are also tangent to the axis and to each other, then $\dfrac{1}{\sqrt{r}} = \dfrac{1}{\sqrt{r_1}} + \dfrac{1}{\sqrt{r_2}}.$

Let $x = \dfrac{1}{\sqrt{70^2}} + \dfrac{1}{\sqrt{73^2}}$ $= \dfrac{1}{70} + \dfrac{1}{73},$ which is the sum over $L_0.$ The single circle of $L_1$ also contributes $x.$ For $k \ge 2,$ each new circle contributes the sum of its two neighbors, and every earlier circle is counted twice except the two circles of $L_0;$ this yields a sum of $3^{k-1}x$ over $L_k.$

Therefore $\begin{gathered} \sum_{C \in S} \dfrac{1}{\sqrt{r(C)}} = x \\ {}+ \sum_{k=1}^{6} 3^{k-1}x \\ = x\left(1 + \dfrac{3^6 - 1}{2}\right) \\ = x\cdot\dfrac{3^6 + 1}{2} \\ = 365x. \end{gathered}$

Since $x = \dfrac{1}{70} + \dfrac{1}{73}$ $= \dfrac{143}{70\cdot 73}$ $= \dfrac{143}{5110},$ the sum is $365\cdot\dfrac{143}{5110} = \dfrac{143}{14}.$

Thus, the correct answer is D.