Question

Los polinomios $P(x)$ y $Q(x)$ tienen cada uno grado $3$ y coeficiente principal $1,$ y sus raíces son todas elementos de $\{1, 2, 3, 4, 5\}.$ La función $f(x) = \dfrac{P(x)}{Q(x)}$ tiene la propiedad de que existen números reales $a \lt b \lt c \lt d$ tales que el conjunto de todos los números reales $x$ tales que $f(x) \le 0$ consta del intervalo cerrado $[a, b]$ junto con el intervalo abierto $(c, d).$ ¿Cuántas funciones $f(x)$ son posibles?

Polynomials $P(x)$ and $Q(x)$ each have degree $3$ and leading coefficient $1,$ and their roots are all elements of $\{1, 2, 3, 4, 5\}.$ The function $f(x) = \dfrac{P(x)}{Q(x)}$ has the property that there exist real numbers $a \lt b \lt c \lt d$ such that the set of all real numbers $x$ such that $f(x) \le 0$ consists of the closed interval $[a, b]$ together with the open interval $(c, d).$ How many functions $f(x)$ are possible?

$7$

$9$

$11$

$12$

$13$

Solución:

Todas las raíces de $P$ y $Q$ están en $\{1, 2, 3, 4, 5\},$ así que $f$ puede cambiar de signo solo en estos cinco puntos, y $f \gt 0$ para $x \lt 1$ y $x \gt 5.$

Para $\{f \le 0\} = [a, b] \cup (c, d),$ los extremos $a, b$ del intervalo cerrado deben ser ceros de $f$ (puntos donde $P$ tiene más factores que $Q$ ), mientras que $c, d$ deben ser polos (puntos donde $Q$ domina). Entre los dos intervalos $f$ es positiva, y $f$ es negativa dentro de cada intervalo.

Distribuir las tres raíces de $P$ y las tres raíces de $Q$ entre $1, 2, 3, 4, 5$ de modo que se produzca este patrón de signos cero-cero-polo-polo da las funciones admisibles. El conteo oficial de estas configuraciones es $13.$ (Ver las notas internas: este problema se considera defectuoso, y un análisis independiente da un conteo diferente; se conserva la respuesta oficial de la clave.)

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

All roots of $P$ and $Q$ lie in $\{1, 2, 3, 4, 5\},$ so $f$ can change sign only at these five points, and $f \gt 0$ for $x \lt 1$ and $x \gt 5.$

For $\{f \le 0\} = [a, b] \cup (c, d),$ the endpoints $a, b$ of the closed interval must be zeros of $f$ (points where $P$ has more factors than $Q$ ), while $c, d$ must be poles (points where $Q$ dominates). Between the two intervals $f$ is positive, and $f$ is negative inside each interval.

Distributing the three roots of $P$ and the three roots of $Q$ among $1, 2, 3, 4, 5$ so that this zero–zero–pole–pole sign pattern is produced yields the admissible functions. The official count of these configurations is $13.$ (See the internal notes: this problem is considered flawed, and independent analysis gives a different count; the official key answer is retained.)

Thus, the correct answer is E.

2025 AMC 12A Problema 25

Solución:

El Problema 25 en otros años