Question

Los polinomios $P(x)$ y $Q(x)$ tienen cada uno grado $3$ y coeficiente principal $1,$ y sus raíces son todas elementos de $\{1, 2, 3, 4, 5\}.$ La función $f(x) = \dfrac{P(x)}{Q(x)}$ tiene la propiedad de que existen números reales $a \lt b \lt c \lt d$ tales que el conjunto de todos los números reales $x$ tales que $f(x) \le 0$ consta del intervalo cerrado $[a, b]$ junto con el intervalo abierto $(c, d).$ ¿Cuántas funciones $f(x)$ son posibles?

Polynomials $P(x)$ and $Q(x)$ each have degree $3$ and leading coefficient $1,$ and their roots are all elements of $\{1, 2, 3, 4, 5\}.$ The function $f(x) = \dfrac{P(x)}{Q(x)}$ has the property that there exist real numbers $a \lt b \lt c \lt d$ such that the set of all real numbers $x$ such that $f(x) \le 0$ consists of the closed interval $[a, b]$ together with the open interval $(c, d).$ How many functions $f(x)$ are possible?

$7$

$9$

$11$

$12$

$13$

Respuesta: E

Conceptos:función polinomio análisis por casos

Nivel de dificultad: 2540

Pista pequeña:

Los extremos cerrados deben ser ceros de $P,$ y los extremos abiertos deben ser ceros de $Q$

The closed endpoints must be zeros of $P,$ and the open endpoints must be zeros of $Q$

Pista grande:

Una vez fijados esos cuatro factores de los extremos, los factores restantes del numerador y del denominador deben cancelarse; cuenta funciones distintas, no pares de polinomios

After those four endpoint factors are fixed, the remaining numerator and denominator factors must cancel; count distinct functions, not polynomial pairs

Solución:

Este problema fue anulado: tal como está escrito, su respuesta no aparece entre las opciones. Este es el conteo.

Para $\{f \le 0\} = [a, b] \cup (c, d),$ los extremos $a, b$ del intervalo cerrado deben ser ceros de $P$ en los que $Q\ne0,$ mientras que $c,d$ deben ser polos. El patrón de signos requerido es, por tanto, el de $g(x)=\frac{(x-a)(x-b)}{(x-c)(x-d)}.$ El tercer factor no usado de $P$ debe coincidir con el tercer factor no usado de $Q;$ de lo contrario habría un cero, polo o cambio de signo adicional.

Si el factor común es el quinto valor que no está entre $a,b,c,d,$ no puede crear un agujero dentro de ninguno de los intervalos. En la lista ordenada de cinco valores, puede estar antes de $a,$ entre $b$ y $c,$ o después de $d,$ lo que da $3$ funciones.

Como alternativa, el factor común puede ser igual a $c$ o $d.$ Para cada una de las $\binom54=5$ elecciones de $a,b,c,d,$ estos dos pares de polinomios se simplifican a la misma fórmula $g$ y tienen el mismo dominio (ambos omiten $c,d$ ), así que definen una sola función. Esto da $5$ funciones más, para un total literal de $3+5=8.$

Contar por separado los dos pares de polinomios en cada uno de los cinco últimos casos da $3+2\cdot5=13,$ la respuesta provisional (E), pero eso no responde a la pregunta formulada sobre funciones. Por tanto, ninguna opción impresa es correcta.

This problem was voided: as written, its answer is not among the choices. Here is the count.

For $\{f \le 0\} = [a, b] \cup (c, d),$ the endpoints $a, b$ of the closed interval must be zeros of $P$ at which $Q\ne0,$ while $c,d$ must be poles. The required sign pattern is therefore that of $g(x)=\frac{(x-a)(x-b)}{(x-c)(x-d)}.$ The unused third factor of $P$ must match the unused third factor of $Q;$ otherwise there would be an extra zero, pole, or sign change.

If the common factor is the fifth value not among $a,b,c,d,$ it cannot make a hole inside either interval. In the ordered list of five values it may therefore occur before $a,$ between $b$ and $c,$ or after $d,$ giving $3$ functions.

Alternatively, the common factor can equal $c$ or $d.$ For each of the $\binom54=5$ choices of $a,b,c,d,$ these two polynomial pairs simplify to the same formula $g$ and have the same domain (both omit $c,d$ ), so they define only one function. This gives $5$ more functions, for a literal total of $3+5=8.$

Counting the two polynomial pairs separately in each of the last five cases gives $3+2\cdot5=13,$ the provisional answer (E), but that does not answer the stated question about functions. Thus none of the printed choices is correct.

2025 AMC 12A Problema 25

Respuesta: E

Nivel de dificultad: 2540

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 25 en otros años