Logo para LIVE por Po-Shen Loh

LIVE

2020 AMC 12B Problema 25

Intenta el Problema 25 del 2020 AMC 12B a continuación y luego compara tu respuesta con la solución preparada profesionalmente de LIVE by Po-Shen Loh. También puedes intentar el examen cronometrado completo, ver todas las soluciones del 2020 AMC 12B, o revisar la clave de respuestas.

Todos los problemas se usan con el permiso legal oficial de la Mathematical Association of America (MAA).

25.

Para cada número real aa con 0≤a≤1,0 \le a \le 1, elige xx y yy de forma independiente y al azar de los intervalos [0,a][0, a] y [0,1],[0, 1], respectivamente, y sea P(a)P(a) la probabilidad de que sin⁡2(πx)+sin⁡2(πy)>1.\sin^2(\pi x) + \sin^2(\pi y) \gt 1. ¿Cuál es el valor máximo de P(a)P(a)?
For each real number aa with 0≤a≤1,0 \le a \le 1, let numbers xx and yy be chosen independently at random from the intervals [0,a][0, a] and [0,1],[0, 1], respectively, and let P(a)P(a) be the probability that sin⁡2(πx)+sin⁡2(πy)>1.\sin^2(\pi x) + \sin^2(\pi y) \gt 1. What is the maximum value of P(a)?P(a)?
712\dfrac{7}{12}
2−22 - \sqrt{2}
1+24\dfrac{1 + \sqrt{2}}{4}
5−12\dfrac{\sqrt{5} - 1}{2}
58\dfrac58
Respuesta: B
Conceptos:probabilidad geométricaoptimizacióncálculo
Nivel de dificultad: 2540
Pista pequeña:
La condición es ∣sin⁡πx∣>∣cos⁡πy∣;|\sin \pi x| \gt |\cos \pi y|; fijando x,x, la probabilidad sobre yy es una función triangular simple.
The condition is ∣sin⁡πx∣>∣cos⁡πy∣;|\sin \pi x| \gt |\cos \pi y|; for fixed x,x, the probability over yy is a simple triangular function
Pista grande:
Expresa P(a)=1a∫0ag(x) dxP(a) = \tfrac1a \int_0^a g(x)\,dx donde gg primero sube y luego baja, y luego maximiza sobre aa.
Express P(a)=1a∫0ag(x) dxP(a) = \tfrac1a \int_0^a g(x)\,dx where gg rises then falls, then maximize over aa
Solución:
Como sin⁡2(πy)=1−cos⁡2(πy),\sin^2(\pi y) = 1 - \cos^2(\pi y), la condición es ∣sin⁡πx∣>∣cos⁡πy∣.|\sin \pi x| \gt |\cos \pi y|. Fijando x,x, la probabilidad sobre y∈[0,1]y \in [0, 1] es g(x)=2xg(x) = 2x para 0≤x≤120 \le x \le \tfrac12 y g(x)=2−2xg(x) = 2 - 2x para 12≤x≤1.\tfrac12 \le x \le 1.
Entonces P(a)=1a∫0ag(x) dx.P(a) = \tfrac1a \int_0^a g(x)\,dx. Para a≤12,a \le \tfrac12, P(a)=a,P(a) = a, que crece hasta 12.\tfrac12. Para a≥12,a \ge \tfrac12, P(a)=2a−a2−12a=2−a−12a. \begin{gathered} P(a) = \frac{2a - a^2 - \tfrac12}{a} \\ {}= 2 - a - \frac{1}{2a}. \end{gathered}
Igualando la derivada a cero se obtiene 2a2=1,2a^2 = 1, así que a=12,a = \tfrac{1}{\sqrt2}, y P ⁣(12)=2−2.P\!\left(\tfrac{1}{\sqrt2}\right) = 2 - \sqrt2.
Por lo tanto, la respuesta correcta es B.
Since sin⁡2(πy)=1−cos⁡2(πy),\sin^2(\pi y) = 1 - \cos^2(\pi y), the condition is ∣sin⁡πx∣>∣cos⁡πy∣.|\sin \pi x| \gt |\cos \pi y|. For fixed x,x, the probability over y∈[0,1]y \in [0, 1] is g(x)=2xg(x) = 2x for 0≤x≤120 \le x \le \tfrac12 and g(x)=2−2xg(x) = 2 - 2x for 12≤x≤1.\tfrac12 \le x \le 1.
Then P(a)=1a∫0ag(x) dx.P(a) = \tfrac1a \int_0^a g(x)\,dx. For a≤12,a \le \tfrac12, P(a)=a,P(a) = a, increasing to 12.\tfrac12. For a≥12,a \ge \tfrac12, P(a)=2a−a2−12a=2−a−12a. \begin{gathered} P(a) = \frac{2a - a^2 - \tfrac12}{a} \\ {}= 2 - a - \frac{1}{2a}. \end{gathered}
Setting the derivative to zero gives 2a2=1,2a^2 = 1, so a=12,a = \tfrac{1}{\sqrt2}, and P ⁣(12)=2−2.P\!\left(\tfrac{1}{\sqrt2}\right) = 2 - \sqrt2.
Thus, the correct answer is B.
Problema 24#24
Examen completo

El Problema 25 en otros años

1950 AMC 12 · 1951 AMC 12 · 1952 AMC 12 · 1953 AMC 12 · 1954 AMC 12 · 1955 AMC 12 · 1956 AMC 12 · 1957 AMC 12 · 1958 AMC 12 · 1959 AMC 12 · 1960 AMC 12 · 1961 AMC 12 · 1962 AMC 12 · 1963 AMC 12 · 1964 AMC 12 · 1965 AMC 12 · 1966 AMC 12 · 1967 AMC 12 · 1968 AMC 12 · 1969 AMC 12 · 1970 AMC 12 · 1971 AMC 12 · 1972 AMC 12 · 1973 AMC 12 · 1974 AMC 12 · 1975 AMC 12 · 1976 AMC 12 · 1977 AMC 12 · 1978 AMC 12 · 1979 AMC 12 · 1980 AMC 12 · 1981 AMC 12 · 1982 AMC 12 · 1983 AMC 12 · 1984 AMC 12 · 1985 AMC 12 · 1986 AMC 12 · 1987 AMC 12 · 1988 AMC 12 · 1989 AMC 12 · 1990 AMC 12 · 1991 AMC 12 · 1992 AMC 12 · 1993 AMC 12 · 1994 AMC 12 · 1995 AMC 12 · 1996 AMC 12 · 1997 AMC 12 · 1998 AMC 12 · 1999 AMC 12 · 2000 AMC 12 · 2001 AMC 12 · 2002 AMC 12A · 2002 AMC 12B · 2003 AMC 12A · 2003 AMC 12B · 2004 AMC 12A · 2004 AMC 12B · 2005 AMC 12A · 2005 AMC 12B · 2006 AMC 12A · 2006 AMC 12B · 2007 AMC 12A · 2007 AMC 12B · 2008 AMC 12A · 2008 AMC 12B · 2009 AMC 12A · 2009 AMC 12B · 2010 AMC 12A · 2010 AMC 12B · 2011 AMC 12A · 2011 AMC 12B · 2012 AMC 12A · 2012 AMC 12B · 2013 AMC 12A · 2013 AMC 12B · 2014 AMC 12A · 2014 AMC 12B · 2015 AMC 12A · 2015 AMC 12B · 2016 AMC 12A · 2016 AMC 12B · 2017 AMC 12A · 2017 AMC 12B · 2018 AMC 12A · 2018 AMC 12B · 2019 AMC 12A · 2019 AMC 12B · 2020 AMC 12A · 2021 AMC 12A Spring · 2021 AMC 12B Spring · 2021 AMC 12A Fall · 2021 AMC 12B Fall · 2022 AMC 12A · 2022 AMC 12B · 2023 AMC 12A · 2023 AMC 12B · 2024 AMC 12A · 2024 AMC 12B · 2025 AMC 12A · 2025 AMC 12B