Question

Una gráfica es simétrica respecto a una recta si la gráfica permanece sin cambios tras reflejarse en esa recta. ¿Para cuántas cuádruplas de enteros $(a,b,c,d),$ donde $|a|,$ $|b|,$ $|c|,$ $|d|\le5$ y $c$ y $d$ no son ambos $0,$ la gráfica de $y=\frac{ax+b}{cx+d}$ es simétrica respecto a la recta $y=x$ ?

A graph is symmetric about a line if the graph remains unchanged after reflection in that line. For how many quadruples of integers $(a,b,c,d),$ where $|a|,$ $|b|,$ $|c|,$ $|d|\le5$ and $c$ and $d$ are not both $0,$ is the graph of $y=\frac{ax+b}{cx+d}$ symmetric about the line $y=x?$

$1282$

$1292$

$1310$

$1320$

$1330$

Respuesta: B

Conceptos:función análisis por casos

Nivel de dificultad: 2720

Pista pequeña:

Reflejar $y=f(x)$ sobre $y=x$ da su inversa, así que la simetría significa que $f$ es su propia inversa

Reflecting $y=f(x)$ over $y=x$ gives its inverse, so symmetry means $f$ is its own inverse

Pista grande:

Una función $\dfrac{ax+b}{cx+d}$ es una involución exactamente cuando $a+d=0$ (y es no degenerada); cuenta también la identidad $y=x$

A map $\dfrac{ax+b}{cx+d}$ is an involution exactly when $a+d=0$ (and it is nondegenerate); also count the identity $y=x$

Solución:

Reflejar la gráfica de $y=f(x)$ respecto a $y=x$ produce la gráfica de su inversa, así que la gráfica es simétrica respecto a $y=x$ exactamente cuando $f$ coincide con su propia inversa. Para $f(x)=\tfrac{ax+b}{cx+d}$ , esto ocurre de dos maneras: cuando $a+d=0$ con $ad-bc\ne0$ (una involución genuina, incluidas las rectas de pendiente $-1$ cuando $c=0$ ), o cuando $f$ es la identidad $y=x$ ( $b=c=0,\ a=d\ne0$ ).

Para $a+d=0,$ ponemos $d=-a;$ el determinante $-a^2-bc$ debe ser distinto de cero, así que necesitamos $a^2+bc\ne0,$ junto con $(c,d)\ne(0,0).$ Cuando $a=0,$ tanto $b$ como $c$ deben ser distintos de cero, lo que da $10^2=100$ opciones. Para cada $a$ no nulo, partimos de $11^2=121$ opciones para $(b,c).$ Si $|a|=1,3,4,$ o $5,$ exactamente $2$ pares satisfacen $bc=-a^2;$ si $|a|=2,$ lo hacen exactamente $6$ pares. Por tanto, el número de involuciones genuinas es $\begin{gathered} 100+8(121-2)+2(121-6)\\ {}=1282. \end{gathered}$ El caso de la identidad aporta $10$ más ( $a=d\in\{\pm1,\ldots,\pm5\}$ ), para un total de $1282+10=1292.$

Así, la respuesta correcta es B.

Reflecting the graph of $y=f(x)$ over $y=x$ produces the graph of its inverse, so the graph is symmetric about $y=x$ exactly when $f$ equals its own inverse. For $f(x)=\tfrac{ax+b}{cx+d}$ this happens in two ways: when $a+d=0$ with $ad-bc\ne0$ (a genuine involution, including the slope $-1$ lines when $c=0$ ), or when $f$ is the identity $y=x$ ( $b=c=0,\ a=d\ne0$ ).

For $a+d=0,$ set $d=-a;$ the determinant $-a^2-bc$ must be nonzero, so we need $a^2+bc\ne0,$ together with $(c,d)\ne(0,0).$ When $a=0,$ both $b$ and $c$ must be nonzero, giving $10^2=100$ choices. For each nonzero $a,$ start with $11^2=121$ choices of $(b,c).$ If $|a|=1,3,4,$ or $5,$ exactly $2$ pairs satisfy $bc=-a^2;$ if $|a|=2,$ exactly $6$ pairs do. Thus the genuine involutions number $\begin{gathered} 100+8(121-2)+2(121-6)\\ {}=1282. \end{gathered}$ The identity case adds $10$ more ( $a=d\in\{\pm1,\ldots,\pm5\}$ ), for a total of $1282+10=1292.$

Thus, the correct answer is B.

2024 AMC 12A Problema 25

Respuesta: B

Nivel de dificultad: 2720

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 25 en otros años