Question

Una gráfica es simétrica respecto a una recta si la gráfica permanece sin cambios tras reflejarse en esa recta. ¿Para cuántas cuádruplas de enteros $(a,b,c,d),$ donde $|a|,|b|,|c|,|d|\le5$ y $c$ y $d$ no son ambos $0,$ la gráfica de $y=\frac{ax+b}{cx+d}$ es simétrica respecto a la recta $y=x$ ?

A graph is symmetric about a line if the graph remains unchanged after reflection in that line. For how many quadruples of integers $(a,b,c,d),$ where $|a|,|b|,|c|,|d|\le5$ and $c$ and $d$ are not both $0,$ is the graph of $y=\frac{ax+b}{cx+d}$ symmetric about the line $y=x?$

$1282$

$1292$

$1310$

$1320$

$1330$

Solución:

Reflejar la gráfica de $y=f(x)$ sobre $y=x$ produce la gráfica de su inversa, así que la gráfica es simétrica respecto a $y=x$ exactamente cuando $f$ es igual a su propia inversa. Para $f(x)=\tfrac{ax+b}{cx+d}$ esto ocurre de dos maneras: cuando $a+d=0$ con $ad-bc\ne0$ (una involución genuina, incluyendo las rectas de pendiente $-1$ cuando $c=0$ ), o cuando $f$ es la identidad $y=x$ ( $b=c=0,\ a=d\ne0$ ).

Para $a+d=0,$ hacemos $d=-a;$ el determinante $-a^2-bc$ debe ser distinto de cero, así que necesitamos $a^2+bc\ne0,$ junto con $(c,d)\ne(0,0).$ Contar $(a,b,c)$ con cada uno en $[-5,5]$ da $1282$ cuádruplas. El caso de la identidad añade $10$ más ( $a=d\in\{\pm1,\ldots,\pm5\}$ ). El total es $1282+10=1292.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Reflecting the graph of $y=f(x)$ over $y=x$ produces the graph of its inverse, so the graph is symmetric about $y=x$ exactly when $f$ equals its own inverse. For $f(x)=\tfrac{ax+b}{cx+d}$ this happens in two ways: when $a+d=0$ with $ad-bc\ne0$ (a genuine involution, including the slope $-1$ lines when $c=0$ ), or when $f$ is the identity $y=x$ ( $b=c=0,\ a=d\ne0$ ).

For $a+d=0,$ set $d=-a;$ the determinant $-a^2-bc$ must be nonzero, so we need $a^2+bc\ne0,$ together with $(c,d)\ne(0,0).$ Counting $(a,b,c)$ with each in $[-5,5]$ gives $1282$ quadruples. The identity case adds $10$ more ( $a=d\in\{\pm1,\ldots,\pm5\}$ ). The total is $1282+10=1292.$

Thus, the correct answer is B.

2024 AMC 12A Problema 25

Solución:

El Problema 25 en otros años