Question

¿Cuál es la suma de todas las soluciones reales positivas $x$ de la ecuación $\begin{gathered} \small 2\cos(2x)\left(\cos(2x) - \cos\left(\dfrac{2014\pi^2}{x}\right)\right) \\ = \cos(4x) - 1? \end{gathered}$ ?

What is the sum of all positive real solutions $x$ to the equation $\begin{gathered} \small 2\cos(2x)\left(\cos(2x) - \cos\left(\dfrac{2014\pi^2}{x}\right)\right) \\ = \cos(4x) - 1? \end{gathered}$

$\pi$

$810\pi$

$1008\pi$

$1080\pi$

$1800\pi$

Solución:

Sea $x = \tfrac{\pi y}{2}.$ Dividiendo entre $2$ y usando $\tfrac12(1 - \cos(2\pi y)) = \sin^2(\pi y),$ la ecuación se simplifica a $\cos(\pi y)\cos\left(\dfrac{4028\pi}{y}\right) = 1.$

Ambos cosenos deben ser iguales a $1$ o ambos iguales a $-1,$ así que $y$ y $\tfrac{4028}{y}$ son enteros de la misma paridad. Como $4028 = 2^2 \cdot 19 \cdot 53$ es par, ambos deben ser pares, así que $y = 2a$ con $a$ un divisor positivo impar de $2014 = 2 \cdot 19 \cdot 53,$ lo que da $a \in \{1, 19, 53, 19 \cdot 53\}.$

Cada uno de esos $a$ da $x = \tfrac{\pi y}{2} = \pi a,$ así que la suma de las soluciones es $\begin{gathered} \pi(1 + 19 + 53 + 19\cdot53) \\ = \pi(19+1)(53+1) \\ = 1080\pi. \end{gathered}$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Let $x = \tfrac{\pi y}{2}.$ Dividing by $2$ and using $\tfrac12(1 - \cos(2\pi y)) = \sin^2(\pi y),$ the equation simplifies to $\cos(\pi y)\cos\left(\dfrac{4028\pi}{y}\right) = 1.$

Both cosines must equal $1$ or both equal $-1,$ so $y$ and $\tfrac{4028}{y}$ are integers of the same parity. Since $4028 = 2^2 \cdot 19 \cdot 53$ is even, both must be even, so $y = 2a$ with $a$ a positive odd divisor of $2014 = 2 \cdot 19 \cdot 53,$ giving $a \in \{1, 19, 53, 19 \cdot 53\}.$

Each such $a$ gives $x = \tfrac{\pi y}{2} = \pi a,$ so the sum of solutions is $\begin{gathered} \pi(1 + 19 + 53 + 19\cdot53) \\ = \pi(19+1)(53+1) \\ = 1080\pi. \end{gathered}$

Thus, the correct answer is D.

2014 AMC 12B Problema 25

Solución:

El Problema 25 en otros años