Question

Tres circunferencias concéntricas tienen radios $1, 2, 3.$ Un triángulo equilátero de lado $s$ tiene un vértice sobre cada circunferencia. ¿Cuánto vale $s^2$ ?

Three concentric circles have radii $1, 2, 3.$ An equilateral triangle with side length $s$ has one vertex on each circle. What is $s^2?$

$6$

$\dfrac{25}{4}$

$\dfrac{13}{2}$

$\dfrac{27}{4}$

$7$

Solución:

Para el centro común a distancias $1, 2, 3$ de los vértices de un triángulo equilátero de lado $s,$ se cumple la identidad $3(1 + 16 + 81 + s^4)$ $= (1 + 4 + 9 + s^2)^2$ . Esto se simplifica a $2s^4 - 28s^2 + 98 = 0,$ es decir $(s^2 - 7)^2 = 0,$ así que $s^2 = 7.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

For the common center at distances $1, 2, 3$ from the vertices of an equilateral triangle of side $s,$ the identity $3(1 + 16 + 81 + s^4)$ $= (1 + 4 + 9 + s^2)^2$ holds. This simplifies to $2s^4 - 28s^2 + 98 = 0,$ i.e. $(s^2 - 7)^2 = 0,$ so $s^2 = 7.$

Thus, the correct answer is E.

2025 AMC 12B Problema 25

Solución:

El Problema 25 en otros años