Question

¿Cuántos números reales satisfacen la ecuación $\sin(20\pi x) = \log_{20}(x)$ ?

How many real numbers satisfy the equation $\sin(20\pi x) = \log_{20}(x)?$

$199$

$200$

$398$

$399$

$400$

Respuesta: D

Conceptos:trigonometría logaritmo conteo de intersecciones

Nivel de dificultad: 2520

Pista pequeña:

Una solución necesita $-1 \le \log_{20} x \le 1,$ así que $x$ está en $\left[\tfrac{1}{20}, 20\right]$ .

A solution needs $-1 \le \log_{20} x \le 1,$ so $x$ lies in $\left[\tfrac{1}{20}, 20\right]$

Pista grande:

En cada semionda monótona de $\sin(20\pi x)$ el logaritmo, que sube lentamente, cruza una vez; cuenta con cuidado las ramas en ambos extremos.

On each monotonic half-wave of $\sin(20\pi x)$ the slowly rising log crosses once; count the branches carefully at both ends

Solución:

Como $|\sin(20\pi x)|\le1,$ toda solución está en $\left[\tfrac1{20},20\right].$ Para $x\lt1$ el logaritmo es negativo, así que solo pueden contribuir los $10$ lóbulos negativos del seno en $\left[\tfrac1{20},1\right].$ Cada uno tiene una intersección a cada lado de su mínimo; en el último lóbulo, la segunda intersección es el extremo $x=1.$ Esta parte aporta entonces $20$ soluciones.

Para $x\gt1,$ solo contribuyen los lóbulos positivos. Hay $190$ : uno en cada intervalo de $1+\tfrac{k}{10}$ a $1+\tfrac{k}{10}+\tfrac1{20}$ para $0\le k\le189.$ Cada uno después del primero tiene una intersección a cada lado de su máximo. El primero tiene solo una intersección nueva porque su extremo izquierdo es la solución ya contada $x=1.$ Así, $x\gt1$ aporta $1+2\cdot189=379$ soluciones más.

Para completar, la unicidad afirmada en cada medio lóbulo se obtiene derivando la diferencia de los dos lados. En un medio lóbulo positivo descendente, es estrictamente decreciente. En uno positivo ascendente, su derivada aumenta y luego disminuye una vez, así que la diferencia cruza de negativa a positiva una sola vez. Aplicar el mismo argumento a $-\sin(20\pi x)+\log_{20}x$ trata un lóbulo negativo. El total es $20+379=399.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Since $|\sin(20\pi x)|\le1,$ every solution lies in $\left[\tfrac1{20},20\right].$ For $x\lt1$ the logarithm is negative, so only the $10$ negative sine lobes in $\left[\tfrac1{20},1\right]$ can contribute. Each has one crossing on each side of its minimum; on the last lobe, the second crossing is the endpoint $x=1.$ Hence this part contributes $20$ solutions.

For $x\gt1,$ only positive lobes contribute. There are $190$ of them: one in each interval from $1+\tfrac{k}{10}$ to $1+\tfrac{k}{10}+\tfrac1{20}$ for $0\le k\le189.$ Every one after the first has one crossing on each side of its maximum. The first has only one new crossing because its left endpoint is the already-counted solution $x=1.$ Thus $x\gt1$ contributes $1+2\cdot189=379$ more solutions.

For completeness, the claimed uniqueness on each half-lobe follows by differentiating the difference of the two sides. On a falling positive half-lobe it is strictly decreasing. On a rising positive half-lobe its derivative increases and then decreases once, so the difference crosses from negative to positive only once. Applying the same argument to $-\sin(20\pi x)+\log_{20}x$ handles a negative lobe. The total is $20+379=399.$

Thus, the correct answer is D.

2025 AMC 12B Problema 24

Respuesta: D

Nivel de dificultad: 2520

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 24 en otros años