Question

¿Cuántos números reales satisfacen la ecuación $\sin(20\pi x) = \log_{20}(x)$ ?

How many real numbers satisfy the equation $\sin(20\pi x) = \log_{20}(x)?$

$199$

$200$

$398$

$399$

$400$

Solución:

Como $|\sin| \le 1,$ las soluciones necesitan $x \in \left[\tfrac{1}{20}, 20\right],$ donde $\log_{20} x$ sube de $-1$ a $1.$ La curva $\sin(20\pi x)$ tiene periodo $\tfrac{1}{10},$ y en cada rama monótona completa dentro de este intervalo cruza exactamente una vez el logaritmo que crece lentamente. Hay $398$ ramas completas de este tipo; la rama parcial cerca de $x = \tfrac{1}{20}$ añade un cruce, mientras que la rama parcial cerca de $x = 20$ no añade ninguno (allí el seno no puede subir hasta el valor del logaritmo, cercano a $1$ ). Esto da $399$ soluciones.

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Since $|\sin| \le 1,$ solutions need $x \in \left[\tfrac{1}{20}, 20\right],$ where $\log_{20} x$ rises from $-1$ to $1.$ The curve $\sin(20\pi x)$ has period $\tfrac{1}{10},$ and on every full monotonic branch inside this interval it crosses the slowly increasing log exactly once. There are $398$ such full branches; the partial branch near $x = \tfrac{1}{20}$ adds one crossing, while the partial branch near $x = 20$ adds none (the sine cannot rise to the log's near- $1$ value there). This gives $399$ solutions.

Thus, the correct answer is D.

2025 AMC 12B Problema 24

Solución:

El Problema 24 en otros años