Question

La figura de abajo representa un $7$ -gono regular inscrito en una circunferencia unitaria.

¿Cuál es la suma de las $4$ -ésimas potencias de las longitudes de las $21$ aristas y diagonales?

The figure below depicts a regular $7$ -gon inscribed in a unit circle.

What is the sum of the $4$ th powers of the lengths of all $21$ of its edges and diagonals?

$49$

$98$

$147$

$168$

$196$

Solución:

Una cuerda que une dos vértices separados $d$ pasos tiene longitud al cuadrado $2 - 2\cos\dfrac{2\pi d}{7},$ y hay $7$ cuerdas para cada $d = 1, 2, 3.$ La suma buscada es $7 \sum_{d=1}^{3} \left(2 - 2\cos\tfrac{2\pi d}{7}\right)^2.$

Usando $\displaystyle\sum_{d=1}^{3} \cos\tfrac{2\pi d}{7} = -\tfrac12$ y $\displaystyle\sum_{d=1}^{3} \cos^2\tfrac{2\pi d}{7} = \tfrac54,$ la suma interior se expande a $4\left(3 + 1 + \tfrac54\right) = 21.$

Por lo tanto, el total es $7 \cdot 21 = 147.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

A chord joining two vertices $d$ steps apart has squared length $2 - 2\cos\dfrac{2\pi d}{7},$ and there are $7$ chords for each of $d = 1, 2, 3.$ The required sum is $7 \sum_{d=1}^{3} \left(2 - 2\cos\tfrac{2\pi d}{7}\right)^2.$

Using $\displaystyle\sum_{d=1}^{3} \cos\tfrac{2\pi d}{7} = -\tfrac12$ and $\displaystyle\sum_{d=1}^{3} \cos^2\tfrac{2\pi d}{7} = \tfrac54,$ the inner sum expands to $4\left(3 + 1 + \tfrac54\right) = 21.$

Therefore the total is $7 \cdot 21 = 147.$

Thus, the correct answer is C.

2022 AMC 12B Problema 24

Solución:

El Problema 24 en otros años