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2022 AMC 12B Problema 24

Intenta el Problema 24 del 2022 AMC 12B a continuación y luego compara tu respuesta con la solución preparada profesionalmente de LIVE by Po-Shen Loh. También puedes intentar el examen cronometrado completo, ver todas las soluciones del 2022 AMC 12B, o revisar la clave de respuestas.

Todos los problemas se usan con el permiso legal oficial de la Mathematical Association of America (MAA).

24.

La figura de abajo representa un 77-gono regular inscrito en una circunferencia unitaria.
¿Cuál es la suma de las 44-ésimas potencias de las longitudes de las 2121 aristas y diagonales?
The figure below depicts a regular 77-gon inscribed in a unit circle.
What is the sum of the 44th powers of the lengths of all 2121 of its edges and diagonals?
4949
9898
147147
168168
196196
Respuesta: C
Conceptos:cuerdaraíces de la unidadidentidad trigonométrica
Nivel de dificultad: 2370
Pista pequeña:
Una cuerda entre vértices separados dd tiene longitud al cuadrado 2−2cos⁡2πd7;2 - 2\cos\dfrac{2\pi d}{7}; hay 77 de cada tipo d=1,2,3d = 1, 2, 3.
A chord between vertices dd apart has squared length 2−2cos⁡2πd7;2 - 2\cos\dfrac{2\pi d}{7}; there are 77 of each type d=1,2,3d = 1, 2, 3
Pista grande:
Usa ∑d=13cos⁡2πd7=−12\sum_{d=1}^{3} \cos\dfrac{2\pi d}{7} = -\dfrac12 para evaluar ∑(2−2cos⁡2πd7)2\sum \left(2 - 2\cos\dfrac{2\pi d}{7}\right)^2.
Use ∑d=13cos⁡2πd7=−12\sum_{d=1}^{3} \cos\dfrac{2\pi d}{7} = -\dfrac12 to evaluate ∑(2−2cos⁡2πd7)2\sum \left(2 - 2\cos\dfrac{2\pi d}{7}\right)^2
Solución:
Una cuerda que une dos vértices separados dd pasos tiene longitud al cuadrado 2−2cos⁡2πd7,2 - 2\cos\dfrac{2\pi d}{7}, y hay 77 cuerdas para cada d=1,2,3.d = 1, 2, 3. La suma buscada es 7∑d=13(2−2cos⁡2πd7)2. 7 \sum_{d=1}^{3} \left(2 - 2\cos\tfrac{2\pi d}{7}\right)^2.
Usando ∑d=13cos⁡2πd7=−12\displaystyle\sum_{d=1}^{3} \cos\tfrac{2\pi d}{7} = -\tfrac12 y ∑d=13cos⁡22πd7=54,\displaystyle\sum_{d=1}^{3} \cos^2\tfrac{2\pi d}{7} = \tfrac54, la suma interior se expande a 4(3+1+54)=21.4\left(3 + 1 + \tfrac54\right) = 21.
Por lo tanto, el total es 7⋅21=147.7 \cdot 21 = 147.
Por lo tanto, la respuesta correcta es C.
A chord joining two vertices dd steps apart has squared length 2−2cos⁡2πd7,2 - 2\cos\dfrac{2\pi d}{7}, and there are 77 chords for each of d=1,2,3.d = 1, 2, 3. The required sum is 7∑d=13(2−2cos⁡2πd7)2. 7 \sum_{d=1}^{3} \left(2 - 2\cos\tfrac{2\pi d}{7}\right)^2.
Using ∑d=13cos⁡2πd7=−12\displaystyle\sum_{d=1}^{3} \cos\tfrac{2\pi d}{7} = -\tfrac12 and ∑d=13cos⁡22πd7=54,\displaystyle\sum_{d=1}^{3} \cos^2\tfrac{2\pi d}{7} = \tfrac54, the inner sum expands to 4(3+1+54)=21.4\left(3 + 1 + \tfrac54\right) = 21.
Therefore the total is 7⋅21=147.7 \cdot 21 = 147.
Thus, the correct answer is C.
Problema 23#23
Examen completo
Problema 25#25

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