Logo para LIVE por Po-Shen Loh

LIVE

Español

2022 AMC 12B Problema 24

Intenta el Problema 24 del 2022 AMC 12B a continuación y luego compara tu respuesta con la solución preparada profesionalmente de LIVE by Po-Shen Loh. También puedes intentar el examen cronometrado completo, ver todas las soluciones del 2022 AMC 12B, o revisar la clave de respuestas.

Todos los problemas se usan con el permiso legal oficial de la Mathematical Association of America (MAA).

24.

La figura de abajo representa un 77-gono regular inscrito en una circunferencia unitaria.

¿Cuál es la suma de las 44-ésimas potencias de las longitudes de las 2121 aristas y diagonales?

The figure below depicts a regular 77-gon inscribed in a unit circle.

What is the sum of the 44th powers of the lengths of all 2121 of its edges and diagonals?

4949

9898

147147

168168

196196

Respuesta: C
Conceptos:cuerdaraíces de la unidadidentidad trigonométrica
Nivel de dificultad: 2370
Pista pequeña:

Una cuerda entre vértices separados dd tiene longitud al cuadrado 2−2cos⁡2πd7;2 - 2\cos\dfrac{2\pi d}{7}; hay 77 de cada tipo d=1,2,3d = 1, 2, 3.

A chord between vertices dd apart has squared length 2−2cos⁡2πd7;2 - 2\cos\dfrac{2\pi d}{7}; there are 77 of each type d=1,2,3d = 1, 2, 3

Pista grande:

Usa ∑d=13cos⁡2πd7=−12\sum_{d=1}^{3} \cos\dfrac{2\pi d}{7} = -\dfrac12 para evaluar ∑(2−2cos⁡2πd7)2\sum \left(2 - 2\cos\dfrac{2\pi d}{7}\right)^2.

Use ∑d=13cos⁡2πd7=−12\sum_{d=1}^{3} \cos\dfrac{2\pi d}{7} = -\dfrac12 to evaluate ∑(2−2cos⁡2πd7)2\sum \left(2 - 2\cos\dfrac{2\pi d}{7}\right)^2

Solución:

Una cuerda que une dos vértices separados dd pasos tiene longitud al cuadrado 2−2cos⁡2πd7,2 - 2\cos\dfrac{2\pi d}{7}, y hay 77 cuerdas para cada d=1,2,3.d = 1, 2, 3. La suma buscada es 7∑d=13(2−2cos⁡2πd7)2. 7 \sum_{d=1}^{3} \left(2 - 2\cos\tfrac{2\pi d}{7}\right)^2.

Usando ∑d=13cos⁡2πd7=−12\displaystyle\sum_{d=1}^{3} \cos\tfrac{2\pi d}{7} = -\tfrac12 y ∑d=13cos⁡22πd7=54,\displaystyle\sum_{d=1}^{3} \cos^2\tfrac{2\pi d}{7} = \tfrac54, la suma interior se expande a 4(3+1+54)=21.4\left(3 + 1 + \tfrac54\right) = 21.

Por lo tanto, el total es 7⋅21=147.7 \cdot 21 = 147.

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

A chord joining two vertices dd steps apart has squared length 2−2cos⁡2πd7,2 - 2\cos\dfrac{2\pi d}{7}, and there are 77 chords for each of d=1,2,3.d = 1, 2, 3. The required sum is 7∑d=13(2−2cos⁡2πd7)2. 7 \sum_{d=1}^{3} \left(2 - 2\cos\tfrac{2\pi d}{7}\right)^2.

Using ∑d=13cos⁡2πd7=−12\displaystyle\sum_{d=1}^{3} \cos\tfrac{2\pi d}{7} = -\tfrac12 and ∑d=13cos⁡22πd7=54,\displaystyle\sum_{d=1}^{3} \cos^2\tfrac{2\pi d}{7} = \tfrac54, the inner sum expands to 4(3+1+54)=21.4\left(3 + 1 + \tfrac54\right) = 21.

Therefore the total is 7⋅21=147.7 \cdot 21 = 147.

Thus, the correct answer is C.

Problema 23#23
Examen completo
Problema 25#25

El Problema 24 en otros años

1950 AMC 12 · 1951 AMC 12 · 1952 AMC 12 · 1953 AMC 12 · 1954 AMC 12 · 1955 AMC 12 · 1956 AMC 12 · 1957 AMC 12 · 1958 AMC 12 · 1959 AMC 12 · 1960 AMC 12 · 1961 AMC 12 · 1962 AMC 12 · 1963 AMC 12 · 1964 AMC 12 · 1965 AMC 12 · 1966 AMC 12 · 1967 AMC 12 · 1968 AMC 12 · 1969 AMC 12 · 1970 AMC 12 · 1971 AMC 12 · 1972 AMC 12 · 1973 AMC 12 · 1974 AMC 12 · 1975 AMC 12 · 1976 AMC 12 · 1977 AMC 12 · 1978 AMC 12 · 1979 AMC 12 · 1980 AMC 12 · 1981 AMC 12 · 1982 AMC 12 · 1983 AMC 12 · 1984 AMC 12 · 1985 AMC 12 · 1986 AMC 12 · 1987 AMC 12 · 1988 AMC 12 · 1989 AMC 12 · 1990 AMC 12 · 1991 AMC 12 · 1992 AMC 12 · 1993 AMC 12 · 1994 AMC 12 · 1995 AMC 12 · 1996 AMC 12 · 1997 AMC 12 · 1998 AMC 12 · 1999 AMC 12 · 2000 AMC 12 · 2001 AMC 12 · 2002 AMC 12A · 2002 AMC 12B · 2003 AMC 12A · 2003 AMC 12B · 2004 AMC 12A · 2004 AMC 12B · 2005 AMC 12A · 2005 AMC 12B · 2006 AMC 12A · 2006 AMC 12B · 2007 AMC 12A · 2007 AMC 12B · 2008 AMC 12A · 2008 AMC 12B · 2009 AMC 12A · 2009 AMC 12B · 2010 AMC 12A · 2010 AMC 12B · 2011 AMC 12A · 2011 AMC 12B · 2012 AMC 12A · 2012 AMC 12B · 2013 AMC 12A · 2013 AMC 12B · 2014 AMC 12A · 2014 AMC 12B · 2015 AMC 12A · 2015 AMC 12B · 2016 AMC 12A · 2016 AMC 12B · 2017 AMC 12A · 2017 AMC 12B · 2018 AMC 12A · 2018 AMC 12B · 2019 AMC 12A · 2019 AMC 12B · 2020 AMC 12A · 2020 AMC 12B · 2021 AMC 12A Spring · 2021 AMC 12B Spring · 2021 AMC 12A Fall · 2021 AMC 12B Fall · 2022 AMC 12A · 2023 AMC 12A · 2023 AMC 12B · 2024 AMC 12A · 2024 AMC 12B · 2025 AMC 12A · 2025 AMC 12B