Question

¿Para cuántos valores de $x$ en $[0, \pi]$ se cumple $\sin^{-1}(\sin 6x) = \cos^{-1}(\cos x)$ ?

Nota: Las funciones $\sin^{-1} = \arcsin$ y $\cos^{-1} = \arccos$ denotan funciones trigonométricas inversas.

For how many values of $x$ in $[0, \pi]$ is $\sin^{-1}(\sin 6x) = \cos^{-1}(\cos x)?$

Note: The functions $\sin^{-1} = \arcsin$ and $\cos^{-1} = \arccos$ denote inverse trigonometric functions.

$3$

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$6$

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Solución:

En $[0, \pi],\ \cos^{-1}(\cos x) = x.$ Como $\sin^{-1}$ toma valores en $[-\tfrac{\pi}{2}, \tfrac{\pi}{2}],$ toda solución requiere $x \in [0, \tfrac{\pi}{2}],$ donde la ecuación se convierte en $\sin 6x = \sin x.$

A medida que $x$ va de $0$ a $\tfrac{\pi}{2},$ $\sin 6x$ recorre $0 \to 1 \to -1 \to 1 \to 0$ (con picos en $\tfrac{\pi}{12}, \tfrac{5\pi}{12},$ y un valle en $\tfrac{\pi}{4}$ ), mientras que $\sin x$ aumenta de $0$ a $1.$

Además de $x = 0,$ las gráficas se cruzan una vez en cada uno de $[\tfrac{\pi}{12}, \tfrac{\pi}{4}],$ $[\tfrac{\pi}{4}, \tfrac{5\pi}{12}],$ y $[\tfrac{5\pi}{12}, \tfrac{\pi}{2}],$ para un total de $4$ soluciones.

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

On $[0, \pi],\ \cos^{-1}(\cos x) = x.$ Since $\sin^{-1}$ takes values in $[-\tfrac{\pi}{2}, \tfrac{\pi}{2}],$ any solution requires $x \in [0, \tfrac{\pi}{2}],$ where the equation becomes $\sin 6x = \sin x.$

As $x$ goes from $0$ to $\tfrac{\pi}{2},$ $\sin 6x$ runs $0 \to 1 \to -1 \to 1 \to 0$ (peaks at $\tfrac{\pi}{12}, \tfrac{5\pi}{12},$ trough at $\tfrac{\pi}{4}$ ), while $\sin x$ increases from $0$ to $1.$

Besides $x = 0,$ the graphs cross once in each of $[\tfrac{\pi}{12}, \tfrac{\pi}{4}],$ $[\tfrac{\pi}{4}, \tfrac{5\pi}{12}],$ and $[\tfrac{5\pi}{12}, \tfrac{\pi}{2}],$ for $4$ solutions in all.

Thus, the correct answer is B.

2009 AMC 12B Problema 24

Solución:

El Problema 24 en otros años