Question

¿Para cuántos valores de $x$ en $[0, \pi]$ se cumple $\sin^{-1}(\sin 6x) = \cos^{-1}(\cos x)$ ?

Nota: Las funciones $\sin^{-1} = \arcsin$ y $\cos^{-1} = \arccos$ denotan funciones trigonométricas inversas.

For how many values of $x$ in $[0, \pi]$ is $\sin^{-1}(\sin 6x) = \cos^{-1}(\cos x)?$

Note: The functions $\sin^{-1} = \arcsin$ and $\cos^{-1} = \arccos$ denote inverse trigonometric functions.

$3$

$4$

$5$

$6$

$7$

Respuesta: B

Conceptos:trigonometría análisis por casos

Nivel de dificultad: 2460

Pista pequeña:

En $[0, \pi],\ \cos^{-1}(\cos x) = x,$ y el lado izquierdo está en $[-\tfrac{\pi}{2}, \tfrac{\pi}{2}],$ así que toda solución requiere $x \in [0, \tfrac{\pi}{2}]$ .

On $[0, \pi],\ \cos^{-1}(\cos x) = x,$ and the left side lies in $[-\tfrac{\pi}{2}, \tfrac{\pi}{2}],$ so any solution needs $x \in [0, \tfrac{\pi}{2}]$

Pista grande:

Como $\sin$ es inyectiva en $[-\tfrac{\pi}{2}, \tfrac{\pi}{2}],$ la ecuación se reduce a $\sin 6x = \sin x$ en $[0, \tfrac{\pi}{2}]$ .

Since $\sin$ is one-to-one on $[-\tfrac{\pi}{2}, \tfrac{\pi}{2}],$ the equation reduces to $\sin 6x = \sin x$ on $[0, \tfrac{\pi}{2}]$

Solución:

En $[0, \pi],\ \cos^{-1}(\cos x) = x.$ Como $\sin^{-1}$ toma valores en $[-\tfrac{\pi}{2}, \tfrac{\pi}{2}],$ toda solución requiere $x \in [0, \tfrac{\pi}{2}],$ donde la ecuación se convierte en $\sin 6x = \sin x.$

La ecuación $\sin6x=\sin x$ se cumple exactamente cuando $\begin{aligned} 6x&=x+2k\pi, \\ \text{o}\qquad 6x&=\pi-x+2k\pi \end{aligned}$ para algún entero $k.$

La primera familia da $x=\tfrac{2k\pi}{5},$ aportando $0$ y $\tfrac{2\pi}{5}.$ La segunda da $x=\tfrac{(2k+1)\pi}{7},$ aportando $\tfrac\pi7$ y $\tfrac{3\pi}{7}.$ Por tanto, hay $4$ soluciones en $[0,\tfrac\pi2].$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

On $[0, \pi],\ \cos^{-1}(\cos x) = x.$ Since $\sin^{-1}$ takes values in $[-\tfrac{\pi}{2}, \tfrac{\pi}{2}],$ any solution requires $x \in [0, \tfrac{\pi}{2}],$ where the equation becomes $\sin 6x = \sin x.$

The equation $\sin6x=\sin x$ holds exactly when $\begin{aligned} 6x&=x+2k\pi, \\ \text{or}\qquad 6x&=\pi-x+2k\pi \end{aligned}$ for some integer $k.$

The first family gives $x=\tfrac{2k\pi}{5},$ contributing $0$ and $\tfrac{2\pi}{5}.$ The second gives $x=\tfrac{(2k+1)\pi}{7},$ contributing $\tfrac\pi7$ and $\tfrac{3\pi}{7}.$ Hence there are $4$ solutions in $[0,\tfrac\pi2].$

Thus, the correct answer is B.

2009 AMC 12B Problema 24

Respuesta: B

Nivel de dificultad: 2460

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 24 en otros años