Question

En el triángulo $ABC,$ $\angle ABC = 45^\circ.$ El punto $D$ está sobre $\overline{BC}$ de modo que $2 \cdot BD = CD$ y $\angle DAB = 15^\circ.$ Halla $\angle ACB.$

In triangle $ABC,$ $\angle ABC = 45^\circ.$ Point $D$ is on $\overline{BC}$ so that $2 \cdot BD = CD$ and $\angle DAB = 15^\circ.$ Find $\angle ACB.$

$54^\circ$

$60^\circ$

$72^\circ$

$75^\circ$

$90^\circ$

Solución:

Sea $E$ el pie de la perpendicular desde $C$ a la recta $AD.$ El ángulo exterior de $\triangle ADB$ da $\angle ADC = 15^\circ + 45^\circ = 60^\circ,$ así que $\triangle CDE$ es un triángulo $30$ - $60$ - $90$ con $DE = \tfrac{1}{2}CD = BD.$

Entonces $\triangle BDE$ es isósceles con $\angle EBD = \angle BED = 30^\circ,$ y como $\angle ECB = 30^\circ$ también, $\triangle BEC$ es isósceles con $BE = EC.$

Además $\angle ABE$ $= 45^\circ - 30^\circ$ $= 15^\circ$ $= \angle EAB,$ así que $\triangle ABE$ es isósceles con $AE = BE.$ Por lo tanto $AE = BE = EC,$ haciendo que el triángulo rectángulo $AEC$ sea isósceles con $\angle ECA = 45^\circ.$

Por lo tanto $\angle ACB$ $= \angle ECA + \angle ECD$ $= 45^\circ + 30^\circ$ $= 75^\circ.$

Así, la respuesta correcta es D.

Let $E$ be the foot of the perpendicular from $C$ to line $AD.$ The exterior angle of $\triangle ADB$ gives $\angle ADC = 15^\circ + 45^\circ = 60^\circ,$ so $\triangle CDE$ is a $30$ - $60$ - $90$ triangle with $DE = \tfrac{1}{2}CD = BD.$

Then $\triangle BDE$ is isosceles with $\angle EBD = \angle BED = 30^\circ,$ and since $\angle ECB = 30^\circ$ too, $\triangle BEC$ is isosceles with $BE = EC.$

Also $\angle ABE$ $= 45^\circ - 30^\circ$ $= 15^\circ$ $= \angle EAB,$ so $\triangle ABE$ is isosceles with $AE = BE.$ Hence $AE = BE = EC,$ making right triangle $AEC$ isosceles with $\angle ECA = 45^\circ.$

Therefore $\angle ACB$ $= \angle ECA + \angle ECD$ $= 45^\circ + 30^\circ$ $= 75^\circ.$

Thus, the correct answer is D.

2001 AMC 12 Problema 24

Solución:

El Problema 24 en otros años