Question

Sea $ABCD$ un paralelogramo de área $15.$ Los puntos $P$ y $Q$ son las proyecciones de $A$ y $C,$ respectivamente, sobre la recta $BD;$ y los puntos $R$ y $S$ son las proyecciones de $B$ y $D,$ respectivamente, sobre la recta $AC.$ Observa la figura, que también muestra las posiciones relativas de estos puntos.

Supongamos que $PQ=6$ y $RS=8,$ y sea $d$ la longitud de $\overline{BD},$ la diagonal más larga de $ABCD.$ Entonces $d^2$ puede escribirse en la forma $m+n\sqrt p,$ donde $m, n,$ y $p$ son enteros positivos y $p$ no es divisible por el cuadrado de ningún primo. ¿Cuánto vale $m+n+p$ ?

Let $ABCD$ be a parallelogram with area $15.$ Points $P$ and $Q$ are the projections of $A$ and $C,$ respectively, onto the line $BD;$ and points $R$ and $S$ are the projections of $B$ and $D,$ respectively, onto the line $AC.$ See the figure, which also shows the relative locations of these points.

Suppose $PQ=6$ and $RS=8,$ and let $d$ denote the length of $\overline{BD},$ the longer diagonal of $ABCD.$ Then $d^2$ can be written in the form $m+n\sqrt p,$ where $m, n,$ and $p$ are positive integers and $p$ is not divisible by the square of any prime. What is $m+n+p?$

$81$

$89$

$97$

$105$

$113$

Solución:

Sean las diagonales que se cortan en $O$ formando un ángulo $\theta.$ Los pies de las perpendiculares desde $A$ y $C$ a $BD$ son simétricos respecto a $O,$ así que $PQ=AC\cos\theta=6;$ del mismo modo $RS=BD\cos\theta=8.$

El área del paralelogramo es $\tfrac12\cdot AC\cdot BD\sin\theta=15,$ así que $AC\cdot BD\sin\theta=30.$ Entonces $\dfrac{48\sin\theta}{\cos^2\theta}=30,$ dando $\dfrac{\sin\theta}{\cos^2\theta}=\dfrac58.$

Escribiendo $s=\sin\theta,$ $8s=5(1-s^2)$ da $s=\dfrac{-4+\sqrt{41}}{5},$ así que $\cos^2\theta=1-s^2=\dfrac{8(\sqrt{41}-4)}{25}.$

Entonces $d^2=BD^2$ $=\dfrac{64}{\cos^2\theta}$ $=8(\sqrt{41}+4)$ $=32+8\sqrt{41},$ así que $m+n+p=32+8+41=81.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

Let the diagonals meet at $O$ at angle $\theta.$ The feet of the perpendiculars from $A$ and $C$ to $BD$ are symmetric about $O,$ so $PQ=AC\cos\theta=6;$ likewise $RS=BD\cos\theta=8.$

The parallelogram's area is $\tfrac12\cdot AC\cdot BD\sin\theta=15,$ so $AC\cdot BD\sin\theta=30.$ Then $\dfrac{48\sin\theta}{\cos^2\theta}=30,$ giving $\dfrac{\sin\theta}{\cos^2\theta}=\dfrac58.$

Writing $s=\sin\theta,$ $8s=5(1-s^2)$ gives $s=\dfrac{-4+\sqrt{41}}{5},$ so $\cos^2\theta=1-s^2=\dfrac{8(\sqrt{41}-4)}{25}.$

Then $d^2=BD^2$ $=\dfrac{64}{\cos^2\theta}$ $=8(\sqrt{41}+4)$ $=32+8\sqrt{41},$ so $m+n+p=32+8+41=81.$

Thus, the correct answer is A.

2021 AMC 12B Spring Problema 24

Solución:

El Problema 24 en otros años