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2018 AMC 12A Problema 24

Intenta el Problema 24 del 2018 AMC 12A a continuación y luego compara tu respuesta con la solución preparada profesionalmente de LIVE by Po-Shen Loh. También puedes intentar el examen cronometrado completo, ver todas las soluciones del 2018 AMC 12A, o revisar la clave de respuestas.

Todos los problemas se usan con el permiso legal oficial de la Mathematical Association of America (MAA).

24.

Alice, Bob y Carol juegan un juego en el que cada uno elige un número real entre 00 y 1.1. El ganador del juego es aquel cuyo número está entre los números elegidos por los otros dos jugadores. Alice anuncia que elegirá su número uniformemente al azar entre todos los números entre 00 y 1,1, y Bob anuncia que elegirá su número uniformemente al azar entre todos los números entre 12\tfrac12 y 23.\tfrac23. Con esta información, ¿qué número debería elegir Carol para maximizar su probabilidad de ganar?

Alice, Bob, and Carol play a game in which each of them chooses a real number between 00 and 1.1. The winner of the game is the one whose number is between the numbers chosen by the other two players. Alice announces that she will choose her number uniformly at random from all the numbers between 00 and 1,1, and Bob announces that he will choose his number uniformly at random from all the numbers between 12\tfrac12 and 23.\tfrac23. Armed with this information, what number should Carol choose to maximize her chance of winning?

12\tfrac12

1324\tfrac{13}{24}

712\tfrac{7}{12}

58\tfrac58

23\tfrac23

Respuesta: B
Conceptos:probabilidad geométricaanálisis por casosoptimización
Nivel de dificultad: 2520
Pista pequeña:

Divide en casos según dónde se sitúa el número cc de Carol respecto de 12\tfrac12 y 23;\tfrac23; para 12<c<23\tfrac12 \lt c \lt \tfrac23 ella puede ganar de dos maneras

Split into cases by where Carol’s number cc sits relative to 12\tfrac12 and 23;\tfrac23; for 12<c<23\tfrac12 \lt c \lt \tfrac23 she can win in two ways

Pista grande:

En ese rango intermedio su probabilidad de ganar es −12c2+13c−3;-12c^2 + 13c - 3; maximiza esta cuadrática hacia abajo en su vértice c=−b2ac = \tfrac{-b}{2a}

In that middle range her win probability is −12c2+13c−3;-12c^2 + 13c - 3; maximize this downward quadratic at its vertex c=−b2ac = \tfrac{-b}{2a}

Solución:

Si c≤12,c \le \tfrac12, Carol le gana a Bob automáticamente, así que gana solo si Alice está por debajo de c,c, con probabilidad c≤12.c \le \tfrac12. Si c≥23,c \ge \tfrac23, gana con probabilidad 1−c≤13.1 - c \le \tfrac13. Ninguno de los casos supera 12.\tfrac12.

Para 12<c<23,\tfrac12 \lt c \lt \tfrac23, la probabilidad de que el número de Bob supere a cc es 23−c23−12=4−6c,\frac{\frac{2}{3} - c}{\frac{2}{3} - \frac{1}{2}} = 4 - 6c, así que la probabilidad de que Carol esté por encima de Alice y por debajo de Bob es c(4−6c);c(4 - 6c); el orden inverso tiene probabilidad (1−c)(6c−3).(1 - c)(6c - 3). Sumando, c(4−6c)+(1−c)(6c−3)=−12c2+13c−3. \begin{aligned} &c(4 - 6c) + (1 - c)(6c - 3) \\ &= -12c^2 + 13c - 3. \end{aligned} Esta parábola hacia abajo se maximiza en c=1324,c = \tfrac{13}{24}, que está en (12,23),\left(\tfrac12, \tfrac23\right), y su valor supera 12.\tfrac12.

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

If c≤12,c \le \tfrac12, Carol beats Bob automatically, so she wins only if Alice is below c,c, probability c≤12.c \le \tfrac12. If c≥23,c \ge \tfrac23, she wins with probability 1−c≤13.1 - c \le \tfrac13. Neither case exceeds 12.\tfrac12.

For 12<c<23,\tfrac12 \lt c \lt \tfrac23, the chance Bob’s number exceeds cc is 23−c23−12=4−6c,\frac{\frac{2}{3} - c}{\frac{2}{3} - \frac{1}{2}} = 4 - 6c, so the probability Carol is above Alice and below Bob is c(4−6c);c(4 - 6c); the reverse ordering has probability (1−c)(6c−3).(1 - c)(6c - 3). Adding, c(4−6c)+(1−c)(6c−3)=−12c2+13c−3. \begin{aligned} &c(4 - 6c) + (1 - c)(6c - 3) \\ &= -12c^2 + 13c - 3. \end{aligned} This downward parabola is maximized at c=1324,c = \tfrac{13}{24}, which lies in (12,23),\left(\tfrac12, \tfrac23\right), and its value exceeds 12.\tfrac12.

Thus, the correct answer is B.

Problema 23#23
Examen completo
Problema 25#25

El Problema 24 en otros años

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