Question

Alice, Bob y Carol juegan un juego en el que cada uno elige un número real entre $0$ y $1.$ El ganador del juego es aquel cuyo número está entre los números elegidos por los otros dos jugadores. Alice anuncia que elegirá su número uniformemente al azar entre todos los números entre $0$ y $1,$ y Bob anuncia que elegirá su número uniformemente al azar entre todos los números entre $\tfrac12$ y $\tfrac23.$ Con esta información, ¿qué número debería elegir Carol para maximizar su probabilidad de ganar?

Alice, Bob, and Carol play a game in which each of them chooses a real number between $0$ and $1.$ The winner of the game is the one whose number is between the numbers chosen by the other two players. Alice announces that she will choose her number uniformly at random from all the numbers between $0$ and $1,$ and Bob announces that he will choose his number uniformly at random from all the numbers between $\tfrac12$ and $\tfrac23.$ Armed with this information, what number should Carol choose to maximize her chance of winning?

$\tfrac12$

$\tfrac{13}{24}$

$\tfrac{7}{12}$

$\tfrac58$

$\tfrac23$

Solución:

Si $c \le \tfrac12,$ Carol le gana a Bob automáticamente, así que gana solo si Alice está por debajo de $c,$ con probabilidad $c \le \tfrac12.$ Si $c \ge \tfrac23,$ gana con probabilidad $1 - c \le \tfrac13.$ Ninguno de los casos supera $\tfrac12.$

Para $\tfrac12 \lt c \lt \tfrac23,$ la probabilidad de que el número de Bob supere a $c$ es $\frac{2/3 - c}{2/3 - 1/2} = 4 - 6c,$ así que la probabilidad de que Carol esté por encima de Alice y por debajo de Bob es $c(4 - 6c);$ el orden inverso tiene probabilidad $(1 - c)(6c - 3).$ Sumando, $\begin{aligned} &c(4 - 6c) + (1 - c)(6c - 3) \\ &= -12c^2 + 13c - 3. \end{aligned}$ Esta parábola hacia abajo se maximiza en $c = \tfrac{13}{24},$ que está en $\left(\tfrac12, \tfrac23\right),$ y su valor supera $\tfrac12.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

If $c \le \tfrac12,$ Carol beats Bob automatically, so she wins only if Alice is below $c,$ probability $c \le \tfrac12.$ If $c \ge \tfrac23,$ she wins with probability $1 - c \le \tfrac13.$ Neither case exceeds $\tfrac12.$

For $\tfrac12 \lt c \lt \tfrac23,$ the chance Bob's number exceeds $c$ is $\frac{2/3 - c}{2/3 - 1/2} = 4 - 6c,$ so the probability Carol is above Alice and below Bob is $c(4 - 6c);$ the reverse ordering has probability $(1 - c)(6c - 3).$ Adding, $\begin{aligned} &c(4 - 6c) + (1 - c)(6c - 3) \\ &= -12c^2 + 13c - 3. \end{aligned}$ This downward parabola is maximized at $c = \tfrac{13}{24},$ which lies in $\left(\tfrac12, \tfrac23\right),$ and its value exceeds $\tfrac12.$

Thus, the correct answer is B.

2018 AMC 12A Problema 24

Solución:

El Problema 24 en otros años