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2024 AMC 12B Problema 24

Intenta el Problema 24 del 2024 AMC 12B a continuación y luego compara tu respuesta con la solución preparada profesionalmente de LIVE by Po-Shen Loh. También puedes intentar el examen cronometrado completo, ver todas las soluciones del 2024 AMC 12B, o revisar la clave de respuestas.

Todos los problemas se usan con el permiso legal oficial de la Mathematical Association of America (MAA).

24.

¿Cuál es el número de ternas ordenadas (a,b,c)(a, b, c) de enteros positivos, con a≤b≤c≤9,a \le b \le c \le 9, tales que existe un triángulo (no degenerado) △ABC\triangle ABC con inradio entero para el cual a,a, b,b, y cc son las longitudes de las alturas desde AA hacia BC‾,\overline{BC}, desde BB hacia AC‾,\overline{AC}, y desde CC hacia AB‾,\overline{AB}, respectivamente? (Recuerda que el inradio de un triángulo es el radio del mayor círculo que puede inscribirse en el triángulo.)

What is the number of ordered triples (a,b,c)(a, b, c) of positive integers, with a≤b≤c≤9,a \le b \le c \le 9, such that there exists a (non-degenerate) triangle △ABC\triangle ABC with an integer inradius for which a,a, b,b, and cc are the lengths of the altitudes from AA to BC‾,\overline{BC}, BB to AC‾,\overline{AC}, and CC to AB‾,\overline{AB}, respectively? (Recall that the inradius of a triangle is the radius of the largest possible circle that can be inscribed in the triangle.)

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Respuesta: B
Conceptos:alturacircunferencia inscrita, incentro e inradiodesigualdad triangular
Nivel de dificultad: 2410
Pista pequeña:

Como cada lado es igual a 2[△]altura,\dfrac{2[\triangle]}{\text{altura}}, el inradio satisface 1r=1a+1b+1c\dfrac1r = \dfrac1a + \dfrac1b + \dfrac1c.

Since each side equals 2[△]altitude,\dfrac{2[\triangle]}{\text{altitude}}, the inradius satisfies 1r=1a+1b+1c\dfrac1r = \dfrac1a + \dfrac1b + \dfrac1c

Pista grande:

Los lados son proporcionales a 1a,1b,1c,\tfrac1a, \tfrac1b, \tfrac1c, así que la no degeneración requiere 1a<1b+1c;\tfrac1a \lt \tfrac1b + \tfrac1c; busca ternas con 1a+1b+1c\tfrac1a + \tfrac1b + \tfrac1c siendo una fracción unitaria.

The sides are proportional to 1a,1b,1c,\tfrac1a, \tfrac1b, \tfrac1c, so non-degeneracy needs 1a<1b+1c;\tfrac1a \lt \tfrac1b + \tfrac1c; seek triples with 1a+1b+1c\tfrac1a + \tfrac1b + \tfrac1c a unit fraction

Solución:

Al escribir cada lado como 2[△]h,\dfrac{2[\triangle]}{h}, el semiperímetro es [△](1a+1b+1c),[\triangle]\bigl(\tfrac1a + \tfrac1b + \tfrac1c\bigr), así que el inradio r=[△]sr = \dfrac{[\triangle]}{s} satisface 1r=1a+1b+1c.\dfrac1r = \dfrac1a + \dfrac1b + \dfrac1c. Necesitamos que sea 1r\dfrac1r para un entero positivo r,r, y que los lados, proporcionales a 1a,1b,1c\tfrac1a, \tfrac1b, \tfrac1c, formen un triángulo no degenerado, lo cual exige 1a<1b+1c.\tfrac1a \lt \tfrac1b + \tfrac1c.

Como a≤b≤c≤9,a\le b\le c\le9, la suma de recíprocos es al menos 3c≥13,\frac{3}{c}\ge\frac{1}{3}, así que rr es uno de 1,2,3.1,2,3. Además, 1a<1r≤3a,\frac{1}{a}\lt\frac{1}{r}\le\frac{3}{a}, de modo que r<a≤3r.r\lt a\le3r. Para cada uno de estos pocos valores de r,a,r,a, sustituimos b=a,a+1,…,9b=a,a+1,\ldots,9 en c=abrab−ar−br. c=\frac{abr}{ab-ar-br}. Al conservar solo los valores enteros cc con b≤c≤9b\le c\le9, obtenemos la lista completa r(a,b,c)1(2,3,6),(2,4,4),(3,3,3)2(4,8,8),(6,6,6)3(9,9,9). \begin{array}{c|l} r& (a,b,c)\\ \hline 1&(2,3,6),(2,4,4),(3,3,3)\\ 2&(4,8,8),(6,6,6)\\ 3&(9,9,9). \end{array} Las ternas (2,3,6),(2,4,4),(2,3,6),(2,4,4), y (4,8,8)(4,8,8) tienen 1a=1b+1c\tfrac1a=\tfrac1b+\tfrac1c y por ello producen triángulos degenerados. Las ternas restantes son (3,3,3),(6,6,6),(3,3,3),(6,6,6), y (9,9,9),(9,9,9), así que la respuesta es 3.3.

Así, la respuesta correcta es B.

Writing each side as 2[△]h,\dfrac{2[\triangle]}{h}, the semiperimeter is [△](1a+1b+1c),[\triangle]\bigl(\tfrac1a + \tfrac1b + \tfrac1c\bigr), so the inradius r=[△]sr = \dfrac{[\triangle]}{s} satisfies 1r=1a+1b+1c.\dfrac1r = \dfrac1a + \dfrac1b + \dfrac1c. We need this to be 1r\dfrac1r for a positive integer r,r, with the sides (proportional to 1a,1b,1c\tfrac1a, \tfrac1b, \tfrac1c) forming a non-degenerate triangle, requiring 1a<1b+1c.\tfrac1a \lt \tfrac1b + \tfrac1c.

Because a≤b≤c≤9,a\le b\le c\le9, the reciprocal sum is at least 3c≥13,\frac{3}{c}\ge\frac{1}{3}, so the integer rr is one of 1,2,3.1,2,3. Also 1a<1r≤3a,\frac{1}{a}\lt\frac{1}{r}\le\frac{3}{a}, so r<a≤3r.r\lt a\le3r. For each of these few values of r,a,r,a, substitute b=a,a+1,…,9b=a,a+1,\ldots,9 into c=abrab−ar−br. c=\frac{abr}{ab-ar-br}. Keeping only integral cc with b≤c≤9b\le c\le9 gives the complete list r(a,b,c)1(2,3,6),(2,4,4),(3,3,3)2(4,8,8),(6,6,6)3(9,9,9). \begin{array}{c|l} r& (a,b,c)\\ \hline 1&(2,3,6),(2,4,4),(3,3,3)\\ 2&(4,8,8),(6,6,6)\\ 3&(9,9,9). \end{array} The triples (2,3,6),(2,4,4),(2,3,6),(2,4,4), and (4,8,8)(4,8,8) have 1a=1b+1c\tfrac1a=\tfrac1b+\tfrac1c and therefore give degenerate triangles. The remaining triples are (3,3,3),(6,6,6),(3,3,3),(6,6,6), and (9,9,9),(9,9,9), so the answer is 3.3.

Thus, the correct answer is B.

Problema 23#23
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Problema 25#25

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