Question

Supón que $a,$ $b,$ $c,$ y $d$ son enteros positivos que satisfacen todas las siguientes relaciones.

$\begin{aligned} abcd &= 2^6\cdot 3^9\cdot 5^7\\ \operatorname{lcm}(a,b) &= 2^3\cdot 3^2\cdot 5^3\\ \operatorname{lcm}(a,c) &= 2^3\cdot 3^3\cdot 5^3\\ \operatorname{lcm}(a,d) &= 2^3\cdot 3^3\cdot 5^3\\ \operatorname{lcm}(b,c) &= 2^1\cdot 3^3\cdot 5^2\\ \operatorname{lcm}(b,d) &= 2^2\cdot 3^3\cdot 5^2\\ \operatorname{lcm}(c,d) &= 2^2\cdot 3^3\cdot 5^2 \end{aligned}$

¿Cuánto vale $\gcd(a,b,c,d)$ ?

Suppose that $a,$ $b,$ $c,$ and $d$ are positive integers satisfying all of the following relations.

$\begin{aligned} abcd &= 2^6\cdot 3^9\cdot 5^7\\ \operatorname{lcm}(a,b) &= 2^3\cdot 3^2\cdot 5^3\\ \operatorname{lcm}(a,c) &= 2^3\cdot 3^3\cdot 5^3\\ \operatorname{lcm}(a,d) &= 2^3\cdot 3^3\cdot 5^3\\ \operatorname{lcm}(b,c) &= 2^1\cdot 3^3\cdot 5^2\\ \operatorname{lcm}(b,d) &= 2^2\cdot 3^3\cdot 5^2\\ \operatorname{lcm}(c,d) &= 2^2\cdot 3^3\cdot 5^2 \end{aligned}$

What is $\gcd(a,b,c,d)?$

$30$

$45$

$3$

$15$

$6$

Solución:

Trata cada primo por separado usando los exponentes de $a,b,c,d.$

Primo $2$ (total $6$ ): $\max(b,c)=1$ obliga a $a=3;$ luego $b+c+d=3$ con $\max(b,d)=\max(c,d)=2$ da $d=2$ y $\{b,c\}=\{0,1\},$ así que el exponente mínimo es $0.$

Primo $3$ (total $9$ ): $\max(a,b)=2$ con los demás lcm iguales a $3$ obliga a $c=d=3;$ luego $a+b=3$ con $\max(a,b)=2$ da $\{a,b\}=\{1,2\},$ así que el mínimo es $1.$

Primo $5$ (total $7$ ): $\max(a,b)=3$ con $\max(b,c),$ $\max(b,d),\max(c,d)=2$ obliga a $a=3;$ luego $b+c+d=4$ con cada uno $\le 2$ y máximos por pares $2$ da dos de ellos iguales a $2$ y uno igual a $0,$ así que el mínimo es $0.$

Por lo tanto $\gcd(a,b,c,d)=2^0\cdot 3^1\cdot 5^0=3.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Handle each prime separately using the exponents of $a,b,c,d.$

Prime $2$ (total $6$ ): $\max(b,c)=1$ forces $a=3;$ then $b+c+d=3$ with $\max(b,d)=\max(c,d)=2$ gives $d=2$ and $\{b,c\}=\{0,1\},$ so the minimum exponent is $0.$

Prime $3$ (total $9$ ): $\max(a,b)=2$ with the other lcms equal to $3$ forces $c=d=3;$ then $a+b=3$ with $\max(a,b)=2$ gives $\{a,b\}=\{1,2\},$ so the minimum is $1.$

Prime $5$ (total $7$ ): $\max(a,b)=3$ with $\max(b,c),$ $\max(b,d),\max(c,d)=2$ forces $a=3;$ then $b+c+d=4$ with each $\le 2$ and pairwise maxima $2$ gives two of them equal to $2$ and one equal to $0,$ so the minimum is $0.$

Therefore $\gcd(a,b,c,d)=2^0\cdot 3^1\cdot 5^0=3.$

Thus, the correct answer is C.

2023 AMC 12B Problema 24

Solución:

El Problema 24 en otros años