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2023 AMC 12B Problema 24

Intenta el Problema 24 del 2023 AMC 12B a continuación y luego compara tu respuesta con la solución preparada profesionalmente de LIVE by Po-Shen Loh. También puedes intentar el examen cronometrado completo, ver todas las soluciones del 2023 AMC 12B, o revisar la clave de respuestas.

Todos los problemas se usan con el permiso legal oficial de la Mathematical Association of America (MAA).

24.

Supón que a,a, b,b, c,c, y dd son enteros positivos que satisfacen todas las siguientes relaciones.
abcd=26⋅39⋅57lcm⁡(a,b)=23⋅32⋅53lcm⁡(a,c)=23⋅33⋅53lcm⁡(a,d)=23⋅33⋅53lcm⁡(b,c)=21⋅33⋅52lcm⁡(b,d)=22⋅33⋅52lcm⁡(c,d)=22⋅33⋅52 \begin{aligned} abcd &= 2^6\cdot 3^9\cdot 5^7\\ \operatorname{lcm}(a,b) &= 2^3\cdot 3^2\cdot 5^3\\ \operatorname{lcm}(a,c) &= 2^3\cdot 3^3\cdot 5^3\\ \operatorname{lcm}(a,d) &= 2^3\cdot 3^3\cdot 5^3\\ \operatorname{lcm}(b,c) &= 2^1\cdot 3^3\cdot 5^2\\ \operatorname{lcm}(b,d) &= 2^2\cdot 3^3\cdot 5^2\\ \operatorname{lcm}(c,d) &= 2^2\cdot 3^3\cdot 5^2 \end{aligned}
¿Cuánto vale gcd⁡(a,b,c,d)\gcd(a,b,c,d)?
Suppose that a,a, b,b, c,c, and dd are positive integers satisfying all of the following relations.
abcd=26⋅39⋅57lcm⁡(a,b)=23⋅32⋅53lcm⁡(a,c)=23⋅33⋅53lcm⁡(a,d)=23⋅33⋅53lcm⁡(b,c)=21⋅33⋅52lcm⁡(b,d)=22⋅33⋅52lcm⁡(c,d)=22⋅33⋅52 \begin{aligned} abcd &= 2^6\cdot 3^9\cdot 5^7\\ \operatorname{lcm}(a,b) &= 2^3\cdot 3^2\cdot 5^3\\ \operatorname{lcm}(a,c) &= 2^3\cdot 3^3\cdot 5^3\\ \operatorname{lcm}(a,d) &= 2^3\cdot 3^3\cdot 5^3\\ \operatorname{lcm}(b,c) &= 2^1\cdot 3^3\cdot 5^2\\ \operatorname{lcm}(b,d) &= 2^2\cdot 3^3\cdot 5^2\\ \operatorname{lcm}(c,d) &= 2^2\cdot 3^3\cdot 5^2 \end{aligned}
What is gcd⁡(a,b,c,d)?\gcd(a,b,c,d)?
3030
4545
33
1515
66
Respuesta: C
Conceptos:mínimo común múltiplomáximo común divisorfactorización en primos
Nivel de dificultad: 2270
Pista pequeña:
Trabaja un primo a la vez; gcd⁡\gcd usa el exponente mínimo y lcm⁡\operatorname{lcm} el máximo
Work one prime at a time; gcd⁡\gcd uses the minimum exponent and lcm⁡\operatorname{lcm} the maximum
Pista grande:
Para cada primo, determina los cuatro exponentes a partir de las condiciones del máximo (lcm) y del total (producto), luego toma el mínimo
For each prime, pin down the four exponents from the max (lcm) and total (product) conditions, then take the minimum
Solución:
Trata cada primo por separado usando los exponentes de a,b,c,d.a,b,c,d.
Primo 22 (total 66): max⁡(b,c)=1\max(b,c)=1 obliga a a=3;a=3; luego b+c+d=3b+c+d=3 con max⁡(b,d)=max⁡(c,d)=2\max(b,d)=\max(c,d)=2 da d=2d=2 y {b,c}={0,1},\{b,c\}=\{0,1\}, así que el exponente mínimo es 0.0.
Primo 33 (total 99): max⁡(a,b)=2\max(a,b)=2 con los demás lcm iguales a 33 obliga a c=d=3;c=d=3; luego a+b=3a+b=3 con max⁡(a,b)=2\max(a,b)=2 da {a,b}={1,2},\{a,b\}=\{1,2\}, así que el mínimo es 1.1.
Primo 55 (total 77): max⁡(a,b)=3\max(a,b)=3 con max⁡(b,c),\max(b,c), max⁡(b,d),max⁡(c,d)=2\max(b,d),\max(c,d)=2 obliga a a=3;a=3; luego b+c+d=4b+c+d=4 con cada uno ≤2\le 2 y máximos por pares 22 da dos de ellos iguales a 22 y uno igual a 0,0, así que el mínimo es 0.0.
Por lo tanto gcd⁡(a,b,c,d)=20⋅31⋅50=3.\gcd(a,b,c,d)=2^0\cdot 3^1\cdot 5^0=3.
Por lo tanto, la respuesta correcta es C.
Handle each prime separately using the exponents of a,b,c,d.a,b,c,d.
Prime 22 (total 66): max⁡(b,c)=1\max(b,c)=1 forces a=3;a=3; then b+c+d=3b+c+d=3 with max⁡(b,d)=max⁡(c,d)=2\max(b,d)=\max(c,d)=2 gives d=2d=2 and {b,c}={0,1},\{b,c\}=\{0,1\}, so the minimum exponent is 0.0.
Prime 33 (total 99): max⁡(a,b)=2\max(a,b)=2 with the other lcms equal to 33 forces c=d=3;c=d=3; then a+b=3a+b=3 with max⁡(a,b)=2\max(a,b)=2 gives {a,b}={1,2},\{a,b\}=\{1,2\}, so the minimum is 1.1.
Prime 55 (total 77): max⁡(a,b)=3\max(a,b)=3 with max⁡(b,c),\max(b,c), max⁡(b,d),max⁡(c,d)=2\max(b,d),\max(c,d)=2 forces a=3;a=3; then b+c+d=4b+c+d=4 with each ≤2\le 2 and pairwise maxima 22 gives two of them equal to 22 and one equal to 0,0, so the minimum is 0.0.
Therefore gcd⁡(a,b,c,d)=20⋅31⋅50=3.\gcd(a,b,c,d)=2^0\cdot 3^1\cdot 5^0=3.
Thus, the correct answer is C.
Problema 23#23
Examen completo
Problema 25#25

El Problema 24 en otros años

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