Question

Halla la suma $\begin{aligned} &\frac1{1\cdot3}+\frac1{3\cdot5}+\cdots\\ &\quad+\frac1{(2n-1)(2n+1)}+\cdots\\ &\quad+\frac1{255\cdot257}. \end{aligned}$

Find the sum $\begin{aligned} &\frac1{1\cdot3}+\frac1{3\cdot5}+\cdots\\ &\quad+\frac1{(2n-1)(2n+1)}+\cdots\\ &\quad+\frac1{255\cdot257}. \end{aligned}$

$\frac{127}{255}$

$\frac{128}{255}$

$\frac12$

$\frac{128}{257}$

$\frac{129}{257}$

Respuesta: D

Conceptos:telescópica fracciones parciales sumatoria

Nivel de dificultad: 1690

Pista pequeña:

Descompón $\frac1{(2n-1)(2n+1)}$ como diferencia de dos fracciones unitarias

Decompose $\frac1{(2n-1)(2n+1)}$ into two unit fractions

Pista grande:

El último denominador corresponde a $n=128$

The last denominator corresponds to $n=128$

Solución:

Para $1\le n\le128,$ $\begin{gathered} \frac1{(2n-1)(2n+1)}\\ =\frac1{2(2n-1)}-\frac1{2(2n+1)}. \end{gathered}$ Por lo tanto, la suma telescópica es $\frac12\left(1-\frac1{257}\right)=\frac{128}{257}.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

For $1\le n\le128,$ $\begin{gathered} \frac1{(2n-1)(2n+1)}\\ =\frac1{2(2n-1)}-\frac1{2(2n+1)}. \end{gathered}$ Hence the sum telescopes to $\frac12\left(1-\frac1{257}\right)=\frac{128}{257}.$

Therefore, the correct answer is D.

1977 AMC 12 Problema 24

Respuesta: D

Nivel de dificultad: 1690

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 24 en otros años