Question

La ecuación $x+\sqrt{x-2}=4$ tiene:

The equation $x+\sqrt{x-2}=4$ has:

$2$ raíces reales

$2$ real roots

$1$ raíz real y $1$ raíz imaginaria

$1$ real and $1$ imaginary root

$2$ raíces imaginarias

$2$ imaginary roots

Ninguna raíz

No roots

$1$ raíz real

$1$ real root

Respuesta: E

Conceptos:radical cuadrática sustitución

Nivel de dificultad: 1470

Pista pequeña:

Aísla la raíz cuadrada antes de elevar al cuadrado

Isolate the square root before squaring

Pista grande:

Comprueba en la ecuación original cada raíz de la cuadrática resultante

Check every root of the resulting quadratic in the original equation

Solución:

Al aislar y elevar al cuadrado se obtiene $\begin{aligned} \sqrt{x-2}&=4-x,\\ x-2&=(4-x)^2,\\ x^2-9x+18&=0. \end{aligned}$ Las raíces de la cuadrática son $3$ y $6.$ El valor $3$ satisface la ecuación original, pero $6$ da $6+\sqrt4=8,$ por lo que es una raíz extraña.

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

Isolating and squaring gives $\begin{aligned} \sqrt{x-2}&=4-x,\\ x-2&=(4-x)^2,\\ x^2-9x+18&=0. \end{aligned}$ The quadratic roots are $3$ and $6.$ The value $3$ satisfies the original equation, but $6$ gives $6+\sqrt4=8,$ so it is extraneous.

Thus, the correct answer is E.

1950 AMC 12 Problema 24

Respuesta: E

Nivel de dificultad: 1470

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 24 en otros años