Logo para LIVE por Po-Shen Loh

LIVE

Español

1969 AMC 12 Problema 24

Intenta el Problema 24 del 1969 AMC 12 a continuación y luego compara tu respuesta con la solución preparada profesionalmente de LIVE by Po-Shen Loh. También puedes intentar el examen cronometrado completo, ver todas las soluciones del 1969 AMC 12, o revisar la clave de respuestas.

Todos los problemas se usan con el permiso legal oficial de la Mathematical Association of America (MAA).

24.

Al dividir los números naturales PP y P′,P', con P>P′,P\gt P', entre el número natural D,D, los residuos son RR y R′,R', respectivamente. Al dividir PP′PP' y RR′RR' entre D,D, los residuos son rr y r′,r', respectivamente. Entonces:

When the natural numbers PP and P′,P', with P>P′,P\gt P', are divided by the natural number D,D, the remainders are RR and R′,R', respectively. When PP′PP' and RR′RR' are divided by D,D, the remainders are rr and r′,r', respectively. Then:

r>r′r\gt r' siempre

r>r′r\gt r' always

r<r′r\lt r' siempre

r<r′r\lt r' always

r>r′r\gt r' a veces, y r<r′r\lt r' a veces

r>r′r\gt r' sometimes, and r<r′r\lt r' sometimes

r>r′r\gt r' a veces, y r=r′r=r' a veces

r>r′r\gt r' sometimes, and r=r′r=r' sometimes

r=r′r=r' siempre

r=r′r=r' always

Respuesta: E
Conceptos:aritmética modular
Nivel de dificultad: 1670
Pista pequeña:

Escribe P≡R(modD)P\equiv R\pmod D y P′≡R′(modD)P'\equiv R'\pmod D

Write P≡R(modD)P\equiv R\pmod D and P′≡R′(modD)P'\equiv R'\pmod D

Pista grande:

Multiplica las dos congruencias

Multiply the two congruences

Solución:

Por definición de los residuos, P≡R(modD),P′≡R′(modD). \begin{aligned} P&\equiv R\pmod D,\\ P'&\equiv R'\pmod D. \end{aligned} Al multiplicar se obtiene PP′≡RR′(modD).PP'\equiv RR'\pmod D. Como cada uno tiene un residuo único entre 00 y D−1,D-1, sus residuos deben ser iguales: r=r′.r=r'.

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

By definition of the remainders, P≡R(modD),P′≡R′(modD). \begin{aligned} P&\equiv R\pmod D,\\ P'&\equiv R'\pmod D. \end{aligned} Multiplying gives PP′≡RR′(modD).PP'\equiv RR'\pmod D. Since each has a unique remainder between 00 and D−1,D-1, their remainders must be equal: r=r′.r=r'.

Therefore, the correct answer is E.

← Problema 23#23
Examen completo
Problema 25#25 →

El Problema 24 en otros años

1950 AMC 12 · 1951 AMC 12 · 1952 AMC 12 · 1953 AMC 12 · 1954 AMC 12 · 1955 AMC 12 · 1956 AMC 12 · 1957 AMC 12 · 1958 AMC 12 · 1959 AMC 12 · 1960 AMC 12 · 1961 AMC 12 · 1962 AMC 12 · 1963 AMC 12 · 1964 AMC 12 · 1965 AMC 12 · 1966 AMC 12 · 1967 AMC 12 · 1968 AMC 12 · 1970 AMC 12 · 1971 AMC 12 · 1972 AMC 12 · 1973 AMC 12 · 1974 AMC 12 · 1975 AMC 12 · 1976 AMC 12 · 1977 AMC 12 · 1978 AMC 12 · 1979 AMC 12 · 1980 AMC 12 · 1981 AMC 12 · 1982 AMC 12 · 1983 AMC 12 · 1984 AMC 12 · 1985 AMC 12 · 1986 AMC 12 · 1987 AMC 12 · 1988 AMC 12 · 1989 AMC 12 · 1990 AMC 12 · 1991 AMC 12 · 1992 AMC 12 · 1993 AMC 12 · 1994 AMC 12 · 1995 AMC 12 · 1996 AMC 12 · 1997 AMC 12 · 1998 AMC 12 · 1999 AMC 12 · 2000 AMC 12 · 2001 AMC 12 · 2002 AMC 12A · 2002 AMC 12B · 2003 AMC 12A · 2003 AMC 12B · 2004 AMC 12A · 2004 AMC 12B · 2005 AMC 12A · 2005 AMC 12B · 2006 AMC 12A · 2006 AMC 12B · 2007 AMC 12A · 2007 AMC 12B · 2008 AMC 12A · 2008 AMC 12B · 2009 AMC 12A · 2009 AMC 12B · 2010 AMC 12A · 2010 AMC 12B · 2011 AMC 12A · 2011 AMC 12B · 2012 AMC 12A · 2012 AMC 12B · 2013 AMC 12A · 2013 AMC 12B · 2014 AMC 12A · 2014 AMC 12B · 2015 AMC 12A · 2015 AMC 12B · 2016 AMC 12A · 2016 AMC 12B · 2017 AMC 12A · 2017 AMC 12B · 2018 AMC 12A · 2018 AMC 12B · 2019 AMC 12A · 2019 AMC 12B · 2020 AMC 12A · 2020 AMC 12B · 2021 AMC 12A Spring · 2021 AMC 12B Spring · 2021 AMC 12A Fall · 2021 AMC 12B Fall · 2022 AMC 12A · 2022 AMC 12B · 2023 AMC 12A · 2023 AMC 12B · 2024 AMC 12A · 2024 AMC 12B · 2025 AMC 12A · 2025 AMC 12B