Question

En el triángulo $ABC,$ $\angle C=\theta$ y $\angle B=2\theta,$ donde $0^\circ\lt\theta\lt60^\circ.$ El círculo con centro $A$ y radio $AB$ corta a $AC$ en $D$ y corta a $BC,$ prolongado si es necesario, en $B$ y en $E$ ( $E$ puede coincidir con $B$ ). Entonces $EC=AD$

In triangle $ABC,$ $\angle C=\theta$ and $\angle B=2\theta,$ where $0^\circ\lt\theta\lt60^\circ.$ The circle with center $A$ and radius $AB$ intersects $AC$ at $D$ and intersects $BC,$ extended if necessary, at $B$ and at $E$ ( $E$ may coincide with $B$ ). Then $EC=AD$

para ningún valor de $\theta$

for no values of $\theta$

solo si $\theta=45^\circ$

only if $\theta=45^\circ$

solo si $0^\circ\lt\theta\le45^\circ$

only if $0^\circ\lt\theta\le45^\circ$

solo si $45^\circ\le\theta\lt60^\circ$

only if $45^\circ\le\theta\lt60^\circ$

para todo $\theta$ tal que $0^\circ\lt\theta\lt60^\circ$

for all $\theta$ such that $0^\circ\lt\theta\lt60^\circ$

Respuesta: E

Conceptos:círculo triángulo isósceles persecución de ángulos

Nivel de dificultad: 2220

Pista pequeña:

Como $AB=AE=AD,$ estudia primero el triángulo isósceles $ABE$

Because $AB=AE=AD,$ first study the isosceles triangle $ABE$

Pista grande:

Ya sea que $E$ esté en $BC$ o en su prolongación, el seguimiento de ángulos da $\angle EAC=\angle ECA=\theta$

Whether $E$ lies on $BC$ or its extension, angle chasing gives $\angle EAC=\angle ECA=\theta$

Solución:

Como $AB=AE,$ el triángulo $ABE$ es isósceles. Para $0^\circ\lt\theta\lt45^\circ,$ $E$ está entre $B,C$ ; el teorema del ángulo exterior en el triángulo $AEC$ da $2\theta=\angle EAC+\theta,$ por lo que $\angle EAC=\theta.$ Para $45^\circ\lt\theta\lt60^\circ,$ $E$ está más allá de $B$ ; entonces $\angle AEC=180^\circ-2\theta,$ y por tanto $\begin{aligned} \angle EAC &=180^\circ\\ &\quad-(180^\circ-2\theta)-\theta\\ &=\theta. \end{aligned}$ Cuando $\theta=45^\circ,\ E=B$ y la conclusión es inmediata. Así, el triángulo $AEC$ siempre es isósceles, por lo que $EC=EA=AD.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

Since $AB=AE,$ triangle $ABE$ is isosceles. For $0^\circ\lt\theta\lt45^\circ,$ $E$ lies between $B,C$ ; the exterior-angle theorem in triangle $AEC$ gives $2\theta=\angle EAC+\theta,$ so $\angle EAC=\theta.$ For $45^\circ\lt\theta\lt60^\circ,$ $E$ lies beyond $B$ ; then $\angle AEC=180^\circ-2\theta,$ hence $\begin{aligned} \angle EAC &=180^\circ\\ &\quad-(180^\circ-2\theta)-\theta\\ &=\theta. \end{aligned}$ At $\theta=45^\circ,\ E=B$ and the conclusion is immediate. Thus triangle $AEC$ is always isosceles, so $EC=EA=AD.$

Therefore, the correct answer is E.

1975 AMC 12 Problema 24

Respuesta: E

Nivel de dificultad: 2220

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 24 en otros años