Question

¿Cuántas funciones polinómicas $f$ de grado $\ge1$ satisfacen $f(x^2)=[f(x)]^2=f(f(x))?$

How many polynomial functions $f$ of degree $\ge1$ satisfy $f(x^2)=[f(x)]^2=f(f(x))?$

$0$

$1$

$2$

una cantidad finita, pero mayor que $2$

finitely many but more than $2$

una cantidad infinita

infinitely many

Respuesta: B

Conceptos:polynomial degree leading coefficient ecuación funcional

Nivel de dificultad: 2310

Pista pequeña:

Compara los grados y los coeficientes principales de los tres polinomios

Compare the degrees and leading coefficients of the three polynomials

Pista grande:

Después de demostrar que $f$ es un polinomio cuadrático mónico, compara coeficientes en $f(x^2)=[f(x)]^2$

After proving $f$ is a monic quadratic, compare coefficients in $f(x^2)=[f(x)]^2$

Solución:

Sea $f$ de grado $n\ge1$ y coeficiente principal $a.$ Las tres expresiones tienen grados $2n,2n,n^2,$ por lo que $n^2=2n$ y, en consecuencia, $n=2.$ Al comparar los coeficientes principales en $f(x^2)=[f(x)]^2$ , se obtiene $a=a^2,$ de donde $a=1.$

Escribamos $f(x)=x^2+bx+c.$ Entonces $x^4+bx^2+c=(x^2+bx+c)^2.$ El coeficiente cúbico obliga a que $b=0,$ y luego el coeficiente cuadrático obliga a que $c=0.$ Por tanto, la única candidata es $f(x)=x^2,$ que en efecto satisface las tres expresiones. Hay exactamente una función.

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Let $f$ have degree $n\ge1$ and leading coefficient $a.$ The three expressions have degrees $2n,2n,n^2,$ so $n^2=2n$ and therefore $n=2.$ Comparing leading coefficients in $f(x^2)=[f(x)]^2$ gives $a=a^2,$ hence $a=1.$

Write $f(x)=x^2+bx+c.$ Then $x^4+bx^2+c=(x^2+bx+c)^2.$ The cubic coefficient forces $b=0,$ and then the quadratic coefficient forces $c=0.$ Thus the only candidate is $f(x)=x^2,$ which indeed satisfies all three expressions. There is exactly one function.

Thus the correct answer is B.

1987 AMC 12 Problema 24

Respuesta: B

Nivel de dificultad: 2310

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 24 en otros años