Question

Un número creciente, como $34689,$ es un entero positivo en el que cada dígito es mayor que todos los dígitos situados a su izquierda. Hay $\binom95=126$ números crecientes de cinco dígitos. Cuando se ordenan de menor a mayor, el número que ocupa la posición $97$ en la lista no contiene el dígito

A rising number, such as $34689,$ is a positive integer each digit of which is larger than each of the digits to its left. There are $\binom95=126$ five-digit rising numbers. When these numbers are arranged from smallest to largest, the $97$ th number in the list does not contain the digit

$4$

$5$

$6$

$7$

$8$

Respuesta: B

Conceptos:combinaciones lexicographic order

Nivel de dificultad: 2120

Pista pequeña:

Cuenta cuántos números crecientes comienzan con $1$ , y luego cuántos comienzan con $23$

Count how many rising numbers begin with $1$ , then with $23$

Pista grande:

Después de esos bloques, enumera los primeros números que comienzan con $24$

After those blocks, list the first few numbers beginning with $24$

Solución:

Hay $\binom84=70$ que comienzan con $1.$ Entre los que comienzan con $2,$ los primeros $\binom63=20$ comienzan con $23,$ y ocupan las posiciones $71$ – $90.$ Por lo tanto, el que ocupa la posición $97$ es el séptimo que comienza con $24:$ $\begin{gathered} 24567,24568,24569,24578,\\ 24579,24589,24678. \end{gathered}$ El número $24678$ no contiene $5,$ así que B es la respuesta correcta.

There are $\binom84=70$ beginning with $1.$ Among those beginning with $2,$ the first $\binom63=20$ begin with $23,$ occupying positions $71$ – $90.$ Thus the $97$ th overall is the seventh beginning with $24:$ $\begin{gathered} 24567,24568,24569,24578,\\ 24579,24589,24678. \end{gathered}$ The number $24678$ omits $5,$ so B is correct.

1997 AMC 12 Problema 24

Respuesta: B

Nivel de dificultad: 2120

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 24 en otros años