Question

Sea $y=(x-a)^2+(x-b)^2,$ donde $a,$ $b$ son constantes. ¿Para qué valor de $x$ es mínimo $y$ ?

Let $y=(x-a)^2+(x-b)^2,$ $a,$ $b$ constants. For what value of $x$ is $y$ a minimum?

$\dfrac{a+b}{2}$

$a+b$

$\sqrt{ab}$

$\sqrt{\dfrac{a^2+b^2}{2}}$

$\dfrac{a+b}{2ab}$

Respuesta: A

Conceptos:cuadrática completar el cuadrado optimización

Nivel de dificultad: 1140

Pista pequeña:

Expande y agrupa los términos en $x$

Expand and collect the terms in $x$

Pista grande:

Completa el cuadrado o usa la fórmula del vértice

Complete the square or use the vertex formula

Solución:

Al expandir y completar el cuadrado se obtiene $y=2\left(x-\frac{a+b}{2}\right)^2+\frac{(a-b)^2}{2}.$ El término cuadrático se minimiza en $x=\frac{a+b}{2}.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

Expanding and completing the square gives $y=2\left(x-\frac{a+b}{2}\right)^2+\frac{(a-b)^2}{2}.$ The squared term is minimized at $x=\frac{a+b}{2}.$

Therefore, the correct answer is A.

1964 AMC 12 Problema 24

Respuesta: A

Nivel de dificultad: 1140

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 24 en otros años