Question

Si $\theta$ es una constante tal que $0\lt\theta\lt\pi$ y $x+\frac1x=2\cos\theta,$ entonces, para cada entero positivo $n,$ $x^n+\frac1{x^n}$ es igual a

If $\theta$ is a constant such that $0\lt\theta\lt\pi$ and $x+\frac1x=2\cos\theta,$ then for each positive integer $n,$ $x^n+\frac1{x^n}$ equals

$2\cos\theta$

$2^n\cos\theta$

$2\cos^n\theta$

$2\cos n\theta$

$2^n\cos^n\theta$

Respuesta: D

Conceptos:número complejo Teorema de De Moivre identidad trigonométrica

Nivel de dificultad: 1940

Pista pequeña:

Reescribe la condición como una ecuación cuadrática en $x$

Rewrite the condition as a quadratic equation in $x$

Pista grande:

Sus dos raíces son $\cos\theta\pm i\sin\theta$

Its two roots are $\cos\theta\pm i\sin\theta$

Solución:

La ecuación es $x^2-2x\cos\theta+1=0,$ cuyas raíces son $e^{i\theta}$ y $e^{-i\theta}.$ Así, $x=e^{\pm i\theta}$ y $x^{-1}=e^{\mp i\theta}.$ Por el teorema de De Moivre, $\begin{aligned} x^n+x^{-n} &=e^{in\theta}+e^{-in\theta}\\ &=2\cos n\theta. \end{aligned}$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

The equation is $x^2-2x\cos\theta+1=0,$ whose roots are $e^{i\theta}$ and $e^{-i\theta}.$ Thus $x=e^{\pm i\theta}$ and $x^{-1}=e^{\mp i\theta}.$ By De Moivre’s theorem, $\begin{aligned} x^n+x^{-n} &=e^{in\theta}+e^{-in\theta}\\ &=2\cos n\theta. \end{aligned}$

Therefore, the correct answer is D.

1981 AMC 12 Problema 24

Respuesta: D

Nivel de dificultad: 1940

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 24 en otros años