Question

La sucesión $\begin{gathered} 1,2,1,2,2,1,2,2,2,1,2,\\ 2,2,2,1,2,2,2,2,2,1,2,\ldots \end{gathered}$ consta de $1$ separados por bloques de $2$ , con $n$ cifras $2$ en el $n$ -ésimo bloque. La suma de los primeros $1234$ términos de esta sucesión es

The sequence $\begin{gathered} 1,2,1,2,2,1,2,2,2,1,2,\\ 2,2,2,1,2,2,2,2,2,1,2,\ldots \end{gathered}$ consists of $1$ ’s separated by blocks of $2$ ’s with $n$ $2$ ’s in the $n$ th block. The sum of the first $1234$ terms of this sequence is

$1996$

$2419$

$2429$

$2439$

$2449$

Respuesta: B

Conceptos:sequences triangular numbers

Nivel de dificultad: 1860

Pista pequeña:

Cuenta el número total de términos hasta el final del $k$ -ésimo bloque

Count the total number of terms through the end of the $k$ th block

Pista grande:

Halla el último bloque completo antes del término $1234$ y luego cuenta la parte utilizada del bloque siguiente

Find the last complete block before term $1234$ , then account for the partial next block

Solución:

Hasta el bloque $k$ hay $k$ unos y $\frac{k(k+1)}{2}$ doses, por lo que hay $\frac{k(k+3)}{2}$ términos. Para $k=48$ , esto es $1224.$ Su suma es $48+2\left(\frac{48\cdot49}{2}\right)=2400.$ Los $10$ términos siguientes son un $1$ y nueve $2$ , cuya suma es $19.$ La suma solicitada es $2419,$ así que la respuesta correcta es B.

Through block $k$ there are $k$ ones and $\frac{k(k+1)}{2}$ twos, hence $\frac{k(k+3)}{2}$ terms. For $k=48$ this is $1224.$ Their sum is $48+2\left(\frac{48\cdot49}{2}\right)=2400.$ The next $10$ terms are one $1$ and nine $2$ ’s, with sum $19.$ The requested sum is $2419,$ so the correct answer is B.

1996 AMC 12 Problema 24

Respuesta: B

Nivel de dificultad: 1860

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 24 en otros años