Question

Un número telefónico de $7$ cifras $d_1d_2d_3$ - $d_4d_5d_6d_7$ se llama memorable si la secuencia del prefijo $d_1d_2d_3$ coincide exactamente con alguna de las secuencias $d_4d_5d_6$ o $d_5d_6d_7$ (o con ambas). Suponiendo que cada $d_i$ puede ser cualquiera de las diez cifras decimales $0,$ $1,$ $2,$ $\ldots,$ $9,$ el número de teléfonos memorables distintos es

Call a $7$ -digit telephone number $d_1d_2d_3$ - $d_4d_5d_6d_7$ memorable if the prefix sequence $d_1d_2d_3$ is exactly the same as either of the sequences $d_4d_5d_6$ or $d_5d_6d_7$ (possibly both). Assuming that each $d_i$ can be any of the ten decimal digits $0,$ $1,$ $2,$ $\ldots,$ $9,$ the number of different memorable telephone numbers is

$19{,}810$

$19{,}910$

$19{,}990$

$20{,}000$

$20{,}100$

Respuesta: C

Conceptos:inclusión-exclusión digit strings

Nivel de dificultad: 1800

Pista pequeña:

Cuenta por separado los números que satisfacen cada una de las dos condiciones de coincidencia

Count numbers satisfying each of the two matching conditions separately

Pista grande:

Si se cumplen ambas coincidencias, las siete cifras quedan determinadas por una sola cifra repetida

If both matches hold, all seven digits are forced by one repeated digit

Solución:

Cada condición de coincidencia da $10^4=10,000$ números: se eligen las tres cifras del prefijo y la única cifra restante sin restricción. Si se cumplen ambas, entonces $d_1d_2d_3=d_4d_5d_6=d_5d_6d_7,$ lo que obliga a que todas las cifras sean iguales, así que hay $10$ intersecciones. Por inclusión-exclusión se obtienen $10,000+10,000-10=19,990,$ por lo que la respuesta correcta es C.

Each matching condition gives $10^4=10,000$ numbers: choose the three prefix digits and the one unconstrained remaining digit. If both hold, then $d_1d_2d_3=d_4d_5d_6=d_5d_6d_7,$ forcing all digits equal, so there are $10$ overlaps. Inclusion-exclusion gives $10,000+10,000-10=19,990,$ so C is correct.

1998 AMC 12 Problema 24

Respuesta: C

Nivel de dificultad: 1800

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 24 en otros años