Question

En la figura, $AB=AC,$ el ángulo $BAD=30^\circ,$ y $AE=AD.$ Entonces el ángulo $CDE$ es igual a:

In the figure $AB=AC,$ angle $BAD=30^\circ,$ and $AE=AD.$ Then angle $CDE$ equals:

$7\dfrac12^\circ$

$10^\circ$

$12\dfrac12^\circ$

$15^\circ$

$20^\circ$

Respuesta: D

Conceptos:isosceles triangles persecución de ángulos supplementary angles

Nivel de dificultad: 2070

Pista pequeña:

Sea $\angle DAE=\alpha$ y expresa el ángulo de la base en $C$ usando el triángulo isósceles $ABC$

Let $\angle DAE=\alpha$ and express the base angle at $C$ using isosceles triangle $ABC$

Pista grande:

Usa $AE=AD$ para expresar $\angle ADE,$ y después divide el ángulo llano en $D$

Use $AE=AD$ to express $\angle ADE,$ then split the straight angle at $D$

Solución:

Sea $\angle DAE=\alpha.$ Como $AB=AC$ y $AE=AD,$ $\begin{aligned} \angle ACB&=75^\circ-\frac\alpha2,\\ \angle ADE&=90^\circ-\frac\alpha2. \end{aligned}$ El triángulo $ACD$ da $\angle ADC=180^\circ-\alpha-\angle ACB,$ así que $\angle ADC=105^\circ-\frac\alpha2.$ Como $\angle ADC=\angle ADE+x,$ $\begin{aligned} x&=\left(105^\circ-\frac\alpha2\right) -\left(90^\circ-\frac\alpha2\right)\\ &=15^\circ. \end{aligned}$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Let $\angle DAE=\alpha.$ Since $AB=AC$ and $AE=AD,$ $\begin{aligned} \angle ACB&=75^\circ-\frac\alpha2,\\ \angle ADE&=90^\circ-\frac\alpha2. \end{aligned}$ Triangle $ACD$ gives $\angle ADC=180^\circ-\alpha-\angle ACB,$ so $\angle ADC=105^\circ-\frac\alpha2.$ Since $\angle ADC=\angle ADE+x,$ $\begin{aligned} x&=\left(105^\circ-\frac\alpha2\right) -\left(90^\circ-\frac\alpha2\right)\\ &=15^\circ. \end{aligned}$

Thus, the correct answer is D.

1956 AMC 12 Problema 24

Respuesta: D

Nivel de dificultad: 2070

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 24 en otros años