Question

Un círculo de radio $r$ está rodeado por $12$ círculos de radio $1,$ tangentes externamente al círculo central y tangentes secuencialmente entre sí, como se muestra. Entonces $r$ puede escribirse como $\sqrt{a} + \sqrt{b} + c,$ donde $a,$ $b,$ y $c$ son enteros. ¿Cuánto vale $a + b + c$ ?

A circle of radius $r$ is surrounded by $12$ circles of radius $1,$ externally tangent to the central circle and sequentially tangent to each other, as shown. Then $r$ can be written as $\sqrt{a} + \sqrt{b} + c,$ where $a,$ $b,$ and $c$ are integers. What is $a + b + c?$

$3$

$5$

$7$

$9$

$11$

Solución:

Los centros de los $12$ círculos exteriores están en un círculo de radio $r + 1,$ formando un $12$ -ágono regular. Los centros adyacentes están a distancia $2$ (ambos círculos tienen radio $1$ ), y el ángulo central entre ellos es $30^\circ.$

Por lo tanto $2(r + 1)\sin 15^\circ = 2,$ así que $r + 1 = \dfrac{1}{\sin 15^\circ}.$ Como $\sin 15^\circ = \dfrac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4},$ $r + 1 = \frac{4}{\sqrt{6} - \sqrt{2}} = \sqrt{6} + \sqrt{2}.$

Entonces $r = \sqrt{6} + \sqrt{2} - 1,$ así que $a + b + c = 6 + 2 - 1 = 7.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

The centers of the $12$ outer circles lie on a circle of radius $r + 1,$ forming a regular $12$ -gon. Adjacent centers are $2$ apart (both circles have radius $1$ ), and the central angle between them is $30^\circ.$

Thus $2(r + 1)\sin 15^\circ = 2,$ so $r + 1 = \dfrac{1}{\sin 15^\circ}.$ Since $\sin 15^\circ = \dfrac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4},$ $r + 1 = \frac{4}{\sqrt{6} - \sqrt{2}} = \sqrt{6} + \sqrt{2}.$

Then $r = \sqrt{6} + \sqrt{2} - 1,$ so $a + b + c = 6 + 2 - 1 = 7.$

Thus, the correct answer is C.

2025 AMC 12A Problema 24

Solución:

El Problema 24 en otros años