Question

En $\triangle ABC,$ $AB = BC,$ y $\overline{BD}$ es una altura. El punto $E$ está en la prolongación de $\overline{AC}$ tal que $BE = 10.$ Los valores de $\tan \angle CBE,$ $\tan \angle DBE,$ y $\tan \angle ABE$ forman una progresión geométrica, y los valores de $\cot \angle DBE,$ $\cot \angle CBE,$ $\cot \angle DBC$ forman una progresión aritmética. ¿Cuál es el área de $\triangle ABC$ ?

In $\triangle ABC,$ $AB = BC,$ and $\overline{BD}$ is an altitude. Point $E$ is on the extension of $\overline{AC}$ such that $BE = 10.$ The values of $\tan \angle CBE,$ $\tan \angle DBE,$ and $\tan \angle ABE$ form a geometric progression, and the values of $\cot \angle DBE,$ $\cot \angle CBE,$ $\cot \angle DBC$ form an arithmetic progression. What is the area of $\triangle ABC?$

$16$

$\dfrac{50}{3}$

$10\sqrt{3}$

$8\sqrt{5}$

$18$

Solución:

Sea $\angle DBE = \alpha$ y $\angle DBC = \beta.$ Como $\overline{BD}$ es la altura del triángulo isósceles, $\angle CBE = \alpha - \beta$ y $\angle ABE = \alpha + \beta.$ La progresión geométrica da $\tan(\alpha - \beta)\tan(\alpha + \beta) = \tan^2\alpha,$ que se simplifica a $\tan^2\beta(\tan^4\alpha - 1) = 0,$ así que $\tan\alpha = 1$ y $\alpha = 45^\circ.$

Escribiendo $DC = a$ y $BD = b,$ la progresión aritmética $\cot\angle DBE,$ $\cot\angle CBE,$ $\cot\angle DBC$ se convierte en $1, \dfrac{b + a}{b - a}, \dfrac{b}{a},$ lo que fuerza $b = 3a.$ Con $BE = 10$ y $\angle DBE = 45^\circ,$ obtenemos $b = \dfrac{BE}{\sqrt2} = 5\sqrt2,$ así que $a = \dfrac{5\sqrt2}{3}.$

El área de $\triangle ABC$ es $\tfrac12 (AC)(BD) = ab$ $= 5\sqrt2 \cdot \dfrac{5\sqrt2}{3}$ $= \dfrac{50}{3}.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Let $\angle DBE = \alpha$ and $\angle DBC = \beta.$ Since $\overline{BD}$ is the altitude of the isosceles triangle, $\angle CBE = \alpha - \beta$ and $\angle ABE = \alpha + \beta.$ The geometric progression gives $\tan(\alpha - \beta)\tan(\alpha + \beta) = \tan^2\alpha,$ which simplifies to $\tan^2\beta(\tan^4\alpha - 1) = 0,$ so $\tan\alpha = 1$ and $\alpha = 45^\circ.$

Writing $DC = a$ and $BD = b,$ the arithmetic progression $\cot\angle DBE,$ $\cot\angle CBE,$ $\cot\angle DBC$ becomes $1, \dfrac{b + a}{b - a}, \dfrac{b}{a},$ forcing $b = 3a.$ With $BE = 10$ and $\angle DBE = 45^\circ,$ we get $b = \dfrac{BE}{\sqrt2} = 5\sqrt2,$ so $a = \dfrac{5\sqrt2}{3}.$

The area of $\triangle ABC$ is $\tfrac12 (AC)(BD) = ab$ $= 5\sqrt2 \cdot \dfrac{5\sqrt2}{3}$ $= \dfrac{50}{3}.$

Thus, the correct answer is B.

2004 AMC 12B Problema 24

Solución:

El Problema 24 en otros años