Question

Se dan seis puntos sobre un círculo. Se seleccionan al azar cuatro de las cuerdas que unen pares de los seis puntos. ¿Cuál es la probabilidad de que las cuatro cuerdas formen un cuadrilátero convexo?

Six points on a circle are given. Four of the chords joining pairs of the six points are selected at random. What is the probability that the four chords form a convex quadrilateral?

$\dfrac{1}{15}$

$\dfrac{1}{91}$

$\dfrac{1}{273}$

$\dfrac{1}{455}$

$\dfrac{1}{1365}$

Solución:

Hay $\binom{6}{2} = 15$ cuerdas, así que $\binom{15}{4} = 1365$ formas de seleccionar cuatro de ellas. Un cuadrilátero convexo surge exactamente cuando las cuatro cuerdas son los lados de un cuadrilátero sobre cuatro de los seis puntos, y cada elección de $4$ puntos da exactamente uno de tales cuadriláteros.

Por lo tanto hay $\binom{6}{4} = 15$ resultados favorables, y la probabilidad es $\dfrac{15}{1365} = \dfrac{1}{91}.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

There are $\binom{6}{2} = 15$ chords, so $\binom{15}{4} = 1365$ ways to select four of them. A convex quadrilateral arises exactly when the four chords are the sides of a quadrilateral on four of the six points, and each choice of $4$ points gives exactly one such quadrilateral.

Hence there are $\binom{6}{4} = 15$ favorable outcomes, and the probability is $\dfrac{15}{1365} = \dfrac{1}{91}.$

Thus, the correct answer is B.

1999 AMC 12 Problema 24

Solución:

El Problema 24 en otros años