Question

Se eligen al azar tres segmentos distintos entre los segmentos cuyos extremos son los vértices de un $12$ -ágono regular. ¿Cuál es la probabilidad de que las longitudes de estos tres segmentos sean las tres longitudes de los lados de un triángulo con área positiva?

Three distinct segments are chosen at random among the segments whose endpoints are the vertices of a regular $12$ -gon. What is the probability that the lengths of these three segments are the three side lengths of a triangle with positive area?

$\dfrac{553}{715}$

$\dfrac{443}{572}$

$\dfrac{111}{143}$

$\dfrac{81}{104}$

$\dfrac{223}{286}$

Respuesta: E

Conceptos:polígono regular desigualdad triangular conteo complementario

Nivel de dificultad: 2650

Pista pequeña:

Hay $6$ longitudes posibles $d_k = 2\sin(15k^\circ);$ cuenta cuántos segmentos tienen cada longitud

There are $6$ possible lengths $d_k = 2\sin(15k^\circ);$ count how many segments have each length

Pista grande:

Usa el conteo complementario: resta las ternas cuya longitud más larga es al menos la suma de las otras dos

Use complementary counting: subtract the triples whose longest length is at least the sum of the other two

Solución:

Inscribamos el $12$ -ágono en un círculo unitario. Las longitudes son $d_k = 2\sin(15k^\circ)$ para $1 \le k \le 6,$ con $12$ segmentos de cada longitud $d_1, \ldots, d_5$ y $6$ de longitud $d_6.$

Al comparar sumas, las ternas prohibidas $(a, b, c)$ con $d_a \le d_b \le d_c$ y $d_c \ge d_a + d_b$ son $\begin{gathered} (1,1,3),(1,1,4),(1,1,5), \\ (1,1,6),(1,2,4),(1,2,5), \\ (1,2,6),(1,3,5),(1,3,6), \\ (2,2,6). \end{gathered}$

Las tres primeras ternas que terminan en $3,4,5$ aportan $3\binom{12}{2}12;$ las dos ternas con longitud repetida que terminan en $6$ aportan $2\binom{12}{2}6;$ las tres ternas de longitudes distintas sin diámetro aportan $3\cdot12^3;$ y las otras dos ternas con diámetro aportan $2\cdot12^2\cdot6.$ Al dividir su suma entre $\binom{66}{3}$ , se obtiene probabilidad de fracaso $\frac{63}{286},$ y la respuesta es $1-\frac{63}{286}=\frac{223}{286}.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

Inscribe the $12$ -gon in a unit circle. The segment lengths are $d_k = 2\sin(15k^\circ)$ for $1 \le k \le 6,$ with $12$ segments of each length $d_1, \ldots, d_5$ and $6$ of length $d_6.$

Comparing sums, the forbidden index triples $(a, b, c)$ with $d_a \le d_b \le d_c$ and $d_c \ge d_a + d_b$ are $\begin{gathered} (1,1,3),(1,1,4),(1,1,5), \\ (1,1,6),(1,2,4),(1,2,5), \\ (1,2,6),(1,3,5),(1,3,6), \\ (2,2,6). \end{gathered}$

The first three triples ending in $3,4,5$ contribute $3\binom{12}{2}12;$ the two repeated-length triples ending in $6$ contribute $2\binom{12}{2}6;$ the three triples of distinct non-diameter lengths contribute $3\cdot12^3;$ and the two remaining diameter triples contribute $2\cdot12^2\cdot6.$ Dividing their sum by $\binom{66}{3}$ gives failure probability $\frac{63}{286},$ so the answer is $1-\frac{63}{286}=\frac{223}{286}.$

Thus, the correct answer is E.

2013 AMC 12A Problema 24

Respuesta: E

Nivel de dificultad: 2650

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 24 en otros años