Question

Se eligen al azar tres segmentos distintos entre los segmentos cuyos extremos son los vértices de un $12$ -ágono regular. ¿Cuál es la probabilidad de que las longitudes de estos tres segmentos sean las tres longitudes de los lados de un triángulo con área positiva?

Three distinct segments are chosen at random among the segments whose endpoints are the vertices of a regular $12$ -gon. What is the probability that the lengths of these three segments are the three side lengths of a triangle with positive area?

$\dfrac{553}{715}$

$\dfrac{443}{572}$

$\dfrac{111}{143}$

$\dfrac{81}{104}$

$\dfrac{223}{286}$

Solución:

Inscribe el $12$ -ágono en un círculo unitario. Las longitudes de los segmentos son $d_k = 2\sin(15k^\circ)$ para $1 \le k \le 6$ , con $12$ segmentos de cada longitud $d_1, \ldots, d_5$ y $6$ de longitud $d_6$ .

Comparando sumas, las ternas de índices prohibidas $(a, b, c)$ con $d_a \le d_b \le d_c$ y $d_c \ge d_a + d_b$ son $\begin{gathered} (1,1,3),(1,1,4),(1,1,5), \\ (1,1,6),(1,2,4),(1,2,5), \\ (1,2,6),(1,3,5),(1,3,6), \\ (2,2,6). \end{gathered}$

Contando las selecciones de segmentos correspondientes y dividiendo por $\binom{66}{3}$ se obtiene una probabilidad de fracaso de $\dfrac{63}{286}$ , así que la respuesta es $1 - \dfrac{63}{286} = \dfrac{223}{286}$ .

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

Inscribe the $12$ -gon in a unit circle. The segment lengths are $d_k = 2\sin(15k^\circ)$ for $1 \le k \le 6,$ with $12$ segments of each length $d_1, \ldots, d_5$ and $6$ of length $d_6.$

Comparing sums, the forbidden index triples $(a, b, c)$ with $d_a \le d_b \le d_c$ and $d_c \ge d_a + d_b$ are $\begin{gathered} (1,1,3),(1,1,4),(1,1,5), \\ (1,1,6),(1,2,4),(1,2,5), \\ (1,2,6),(1,3,5),(1,3,6), \\ (2,2,6). \end{gathered}$

Counting the corresponding segment selections and dividing by $\binom{66}{3}$ gives a failure probability of $\dfrac{63}{286},$ so the answer is $1 - \dfrac{63}{286} = \dfrac{223}{286}.$

Thus, the correct answer is E.

2013 AMC 12A Problema 24

Solución:

El Problema 24 en otros años