Question

Sea $f : \mathbb{C} \to \mathbb{C}$ definida por $f(z) = z^2 + iz + 1$ . ¿Cuántos números complejos $z$ hay tales que $\operatorname{Im}(z) \gt 0$ y tanto la parte real como la parte imaginaria de $f(z)$ son enteros con valor absoluto a lo sumo $10$ ?

Let $f : \mathbb{C} \to \mathbb{C}$ be defined by $f(z) = z^2 + iz + 1.$ How many complex numbers $z$ are there such that $\operatorname{Im}(z) \gt 0$ and both the real and the imaginary parts of $f(z)$ are integers with absolute value at most $10?$

$399$

$401$

$413$

$431$

$441$

Solución:

En el semiplano superior $H$ , si $f(z_1) = f(z_2)$ entonces $(z_1 - z_2)(z_1 + z_2 + i) = 0;$ como $\operatorname{Im}(z_1), \operatorname{Im}(z_2) \gt 0$ , el factor $z_1 + z_2 + i \ne 0$ , así que $f$ es inyectiva en $H$ .

La imagen es $f(H)$ $= \small\{w : \operatorname{Re}(w) \lt (\operatorname{Im}(w))^2 + 1\}$ . Así que contamos los $w = a + ib$ con $a, b \in \mathbb{Z}$ , $|a|, |b| \le 10$ , y $a \lt b^2 + 1:$ $\begin{gathered} |S| = 21^2 \\ {}- \sum_{b=-3}^{3}(10 - b^2) \\ = 441 - 42 = 399. \end{gathered}$

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

On the upper half-plane $H,$ if $f(z_1) = f(z_2)$ then $(z_1 - z_2)(z_1 + z_2 + i) = 0;$ since $\operatorname{Im}(z_1), \operatorname{Im}(z_2) \gt 0,$ the factor $z_1 + z_2 + i \ne 0,$ so $f$ is one-to-one on $H.$

The image is $f(H)$ $= \small\{w : \operatorname{Re}(w) \lt (\operatorname{Im}(w))^2 + 1\}.$ Thus we count $w = a + ib$ with $a, b \in \mathbb{Z},$ $|a|, |b| \le 10,$ and $a \lt b^2 + 1:$ $\begin{gathered} |S| = 21^2 \\ {}- \sum_{b=-3}^{3}(10 - b^2) \\ = 441 - 42 = 399. \end{gathered}$

Thus, the correct answer is A.

2013 AMC 12A Problema 25

Solución:

El Problema 25 en otros años