Question

Seis hormigas se paran simultáneamente en los seis vértices de un octaedro regular, cada hormiga en un vértice distinto. Simultánea e independientemente, cada hormiga se mueve de su vértice a uno de los cuatro vértices adyacentes, cada uno con igual probabilidad. ¿Cuál es la probabilidad de que no haya dos hormigas que lleguen al mismo vértice?

Six ants simultaneously stand on the six vertices of a regular octahedron, with each ant at a different vertex. Simultaneously and independently, each ant moves from its vertex to one of the four adjacent vertices, each with equal probability. What is the probability that no two ants arrive at the same vertex?

$\dfrac{5}{256}$

$\dfrac{21}{1024}$

$\dfrac{11}{512}$

$\dfrac{23}{1024}$

$\dfrac{3}{128}$

Solución:

Hay $4^6$ combinaciones de movimientos igualmente probables. Etiqueta los vértices $A, B, C, A', B', C',$ donde los vértices con prima son opuestos a los correspondientes sin prima. Una hormiga no puede moverse a su propio vértice ni al opuesto, así que un resultado válido es una permutación $f$ con $f(A) \notin \{A, A'\},$ y análogamente para cada par.

Hay $4 \cdot 3 = 12$ elecciones ordenadas para $(f(A), f(A')).$ De estas, $f(A)$ y $f(A')$ son opuestos en $4$ casos y adyacentes en $8.$

Si $f(A), f(A')$ son opuestos, digamos $B, B',$ entonces $\{f(C), f(C')\} = \{A, A'\}$ y $\{f(B), f(B')\} = \{C, C'\},$ lo que da $4 \cdot 2 \cdot 2 = 16$ combinaciones válidas.

Si $f(A), f(A')$ son adyacentes, digamos $B, C,$ entonces uno de $f(B), f(B')$ debe ser $C'$ y hay $4$ elecciones ordenadas para $(f(B), f(B')),$ cada una dejando $2$ para $(f(C), f(C')):$ es decir $8 \cdot 4 \cdot 2 = 64$ combinaciones válidas.

Así, la probabilidad es $\dfrac{16 + 64}{4^6} = \dfrac{80}{4096} = \dfrac{5}{256}.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

There are $4^6$ equally likely combinations of moves. Label the vertices $A, B, C, A', B', C',$ where primed vertices are opposite the corresponding unprimed ones. An ant cannot move to its own vertex or the opposite one, so a valid outcome is a permutation $f$ with $f(A) \notin \{A, A'\},$ and similarly for each pair.

There are $4 \cdot 3 = 12$ ordered choices for $(f(A), f(A')).$ Of these, $f(A)$ and $f(A')$ are opposite in $4$ cases and adjacent in $8.$

If $f(A), f(A')$ are opposite, say $B, B',$ then $\{f(C), f(C')\} = \{A, A'\}$ and $\{f(B), f(B')\} = \{C, C'\},$ giving $4 \cdot 2 \cdot 2 = 16$ valid combinations.

If $f(A), f(A')$ are adjacent, say $B, C,$ then one of $f(B), f(B')$ must be $C'$ and there are $4$ ordered choices for $(f(B), f(B')),$ each leaving $2$ for $(f(C), f(C')):$ that is $8 \cdot 4 \cdot 2 = 64$ valid combinations.

Hence the probability is $\dfrac{16 + 64}{4^6} = \dfrac{80}{4096} = \dfrac{5}{256}.$

Thus, the correct answer is A.

2005 AMC 12B Problema 25

Solución:

El Problema 25 en otros años