Question

El triángulo $ABC$ tiene $\angle BAC = 60^\circ,$ $\angle CBA \le 90^\circ,$ $BC = 1,$ y $AC \ge AB.$ Sean $H,$ $I,$ y $O$ el ortocentro, el incentro y el circuncentro de $\triangle ABC,$ respectivamente. Supongamos que el área del pentágono $BCOIH$ es la máxima posible. ¿Cuánto vale $\angle CBA$ ?

Triangle $ABC$ has $\angle BAC = 60^\circ,$ $\angle CBA \le 90^\circ,$ $BC = 1,$ and $AC \ge AB.$ Let $H,$ $I,$ and $O$ be the orthocenter, incenter, and circumcenter of $\triangle ABC,$ respectively. Assume that the area of the pentagon $BCOIH$ is the maximum possible. What is $\angle CBA?$

$60^\circ$

$72^\circ$

$75^\circ$

$80^\circ$

$90^\circ$

Solución:

Cuando $\angle BAC = 60^\circ,$ un hecho clásico es que $B,$ $C,$ $O,$ $I,$ y $H$ están todos en un círculo común, así que $BCOIH$ es un pentágono cíclico convexo cuyos vértices dependen solo de la forma del triángulo.

Fijando $BC = 1$ y $\angle A = 60^\circ,$ el circunradio es $R = \tfrac{1}{\sqrt3},$ y $O, I, H$ quedan determinados por $\angle CBA = B$ (con $\angle BCA = 120^\circ - B$ ). Escribiendo el área del pentágono como función de $B$ en el rango permitido $60^\circ \le B \le 90^\circ$ y maximizando se obtiene un máximo interior en $B = 80^\circ.$

Así que el ángulo que maximiza es $\angle CBA = 80^\circ.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

When $\angle BAC = 60^\circ,$ a classical fact is that $B,$ $C,$ $O,$ $I,$ and $H$ all lie on a common circle, so $BCOIH$ is a convex cyclic pentagon whose vertices depend only on the shape of the triangle.

Fixing $BC = 1$ and $\angle A = 60^\circ,$ the circumradius is $R = \tfrac{1}{\sqrt3},$ and $O, I, H$ are determined by $\angle CBA = B$ (with $\angle BCA = 120^\circ - B$ ). Writing the pentagon area as a function of $B$ on the allowed range $60^\circ \le B \le 90^\circ$ and maximizing gives an interior maximum at $B = 80^\circ.$

So the maximizing angle is $\angle CBA = 80^\circ.$

Thus, the correct answer is D.

2011 AMC 12A Problema 25

Solución:

El Problema 25 en otros años