Question

El triángulo $ABC$ tiene $\angle BAC = 60^\circ,$ $\angle CBA \le 90^\circ,$ $BC = 1,$ y $AC \ge AB.$ Sean $H,$ $I,$ y $O$ el ortocentro, el incentro y el circuncentro de $\triangle ABC,$ respectivamente. Supongamos que el área del pentágono $BCOIH$ es la máxima posible. ¿Cuánto vale $\angle CBA$ ?

Triangle $ABC$ has $\angle BAC = 60^\circ,$ $\angle CBA \le 90^\circ,$ $BC = 1,$ and $AC \ge AB.$ Let $H,$ $I,$ and $O$ be the orthocenter, incenter, and circumcenter of $\triangle ABC,$ respectively. Assume that the area of the pentagon $BCOIH$ is the maximum possible. What is $\angle CBA?$

$60^\circ$

$72^\circ$

$75^\circ$

$80^\circ$

$90^\circ$

Respuesta: D

Conceptos:circunferencia circunscrita, circuncentro y circunradio optimización trigonometría

Nivel de dificultad: 2840

Pista pequeña:

Como $\angle BAC = 60^\circ,$ los puntos $B, C, O, I, H$ están todos en un mismo círculo

Because $\angle BAC = 60^\circ,$ the points $B, C, O, I, H$ all lie on one circle

Pista grande:

En ese círculo, maximiza el cuadrilátero $BOIH$ haciendo iguales los tres subarcos consecutivos de $O$ a $B$

On that circle, maximize the quadrilateral $BOIH$ by making the three consecutive subarcs from $O$ to $B$ equal

Solución:

Escribamos $B=\angle CBA$ y $C=\angle BCA=120^\circ-B.$ Como $AC\ge AB,$ tenemos $B\ge C,$ así que $60^\circ\le B\le90^\circ.$ Las fórmulas angulares usuales dan $\begin{aligned} \angle BOC&=2\angle A=120^\circ, \\ \angle BHC&=180^\circ-\angle A=120^\circ, \\ \angle BIC&=90^\circ+\dfrac{\angle A}{2}=120^\circ. \end{aligned}$ Por tanto, $B,C,O,I,H$ están en un mismo círculo.

Además, $BC=1$ y $A=60^\circ$ fijan el circunradio $OB=OC=\frac{1}{\sqrt3},$ por lo que $\triangle BCO$ y el círculo que pasa por $B,C,O$ son fijos. Al perseguir ángulos en $C$ , obtenemos $\begin{aligned} \angle OCI&=30^\circ-\dfrac C2, \\ \angle ICH&=30^\circ-\dfrac C2. \end{aligned}$ Por tanto, las cuerdas correspondientes satisfacen $OI=IH.$

El área del pentágono es el área fija $[BCO]$ más $[BOIH].$ Para dos puntos que dividen un arco fijo $OB,$ un cuadrilátero inscrito tiene área máxima cuando sus tres subarcos consecutivos son iguales (equivalentemente, cuando se maximiza la suma de sus senos). Así, en el máximo, $OI=IH=HB.$

En $\triangle BOC,$ tenemos $\angle OCB=30^\circ.$ Las cuerdas iguales dan $\angle OCI=\angle ICH,$ y $\angle ICH=\angle HCB,$ y cada uno de estos ángulos mide $10^\circ.$ Por tanto, $30^\circ-\tfrac C2=10^\circ,$ de donde $C=40^\circ$ y $B=80^\circ.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Write $B=\angle CBA$ and $C=\angle BCA=120^\circ-B.$ Since $AC\ge AB,$ we have $B\ge C,$ so $60^\circ\le B\le90^\circ.$ The standard angle formulas give $\begin{aligned} \angle BOC&=2\angle A=120^\circ, \\ \angle BHC&=180^\circ-\angle A=120^\circ, \\ \angle BIC&=90^\circ+\dfrac{\angle A}{2}=120^\circ. \end{aligned}$ Hence $B,C,O,I,H$ lie on one circle.

Also $BC=1$ and $A=60^\circ$ fix the circumradius $OB=OC=\frac{1}{\sqrt3},$ so $\triangle BCO$ and the circle through $B,C,O$ are fixed. Angle chasing at $C$ gives $\begin{aligned} \angle OCI&=30^\circ-\dfrac C2, \\ \angle ICH&=30^\circ-\dfrac C2. \end{aligned}$ Thus the corresponding chords satisfy $OI=IH.$

The pentagon’s area is the fixed area $[BCO]$ plus $[BOIH].$ For two points dividing a fixed arc $OB,$ an inscribed quadrilateral has greatest area when its three consecutive subarcs are equal (equivalently, maximize the sum of their sines). Hence at the maximum $OI=IH=HB.$

In $\triangle BOC,$ $\angle OCB=30^\circ.$ Equal chords make $\angle OCI=\angle ICH,$ $\angle ICH=\angle HCB,$ and each of these angles is $10^\circ.$ Therefore $30^\circ-\tfrac C2=10^\circ,$ so $C=40^\circ$ and $B=80^\circ.$

Thus, the correct answer is D.

2011 AMC 12A Problema 25

Respuesta: D

Nivel de dificultad: 2840

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 25 en otros años