Soluciones del 2011 AMC 12A | LIVE by Po-Shen Loh

1.

Un plan de telefonía móvil cuesta $\$20$ cada mes, más $5$ ¢ por cada mensaje de texto enviado, más $10$ ¢ por cada minuto usado por encima de $30$ horas. En enero Michelle envió $100$ mensajes de texto y habló durante $30.5$ horas. ¿Cuánto tuvo que pagar?

A cell phone plan costs $\$20$ each month, plus $5$ ¢ per text message sent, plus $10$ ¢ for each minute used over $30$ hours. In January Michelle sent $100$ text messages and talked for $30.5$ hours. How much did she have to pay?

$\$24.00$

$\$24.50$

$\$25.50$

$\$28.00$

$\$30.00$

Conceptos:dinero conversión de unidades

Nivel de dificultad: 840

Pista pequeña:

$30.5$ horas son $30$ minutos por encima del límite de $30$ horas

$30.5$ hours is $30$ minutes over the $30$ -hour allowance

Pista grande:

Suma la tarifa base, $5$ ¢ por la cantidad de mensajes, y $10$ ¢ por los minutos de exceso

Add the base fee, $5$ ¢ times the texts, and $10$ ¢ times the overage minutes

Solución:

El cargo por mensajes es $100 \cdot 5 = 500$ centavos $= \$5.$ Ella habló $30$ minutos más allá del límite de $30$ horas, así que el exceso es $30 \cdot 10 = 300$ centavos $= \$3.$

El total es $\$20 + \$5 + \$3 = \$28.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

The text charge is $100 \cdot 5 = 500$ cents $= \$5.$ She talked $30$ minutes past the $30$ -hour allowance, so the overage is $30 \cdot 10 = 300$ cents $= \$3.$

The total is $\$20 + \$5 + \$3 = \$28.$

Thus, the correct answer is D.

2.

Hay $5$ monedas colocadas planas sobre una mesa según la figura. ¿Cuál es el orden de las monedas de arriba hacia abajo?

There are $5$ coins placed flat on a table according to the figure. What is the order of the coins from top to bottom?

$(C, A, E, D, B)$

$(C, A, D, E, B)$

$(C, D, E, A, B)$

$(C, E, A, D, B)$

$(C, E, D, A, B)$

Conceptos:deducción lógica

Nivel de dificultad: 840

Pista pequeña:

Una moneda cuyo contorno es un círculo completo y sin interrupciones está encima

A coin whose outline is a complete, unbroken circle lies on top

Pista grande:

En cada superposición, la moneda cuyo arco se dibuja sin interrupción es la que está más arriba

At each overlap, the coin whose arc is drawn without interruption is the higher one

Solución:

La moneda $C$ está dibujada como un círculo completo y sin interrupciones, así que nada la cubre y está encima.

Al leer las superposiciones restantes, el arco descubierto de cada moneda muestra que está por encima de la siguiente: $C$ cubre a $E,$ $E$ cubre a $D,$ $D$ cubre a $B,$ y $A$ cubre a $B$ mientras queda por debajo de las demás. Esto da el orden de arriba hacia abajo $(C, E, D, A, B).$

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

Coin $C$ is drawn as a complete, unbroken circle, so nothing covers it and it lies on top.

Reading the remaining overlaps, each coin’s uncovered arc shows it sits above the next: $C$ covers $E,$ $E$ covers $D,$ $D$ covers $B,$ and $A$ covers $B$ while lying under the others. This gives the top-to-bottom order $(C, E, D, A, B).$

Thus, the correct answer is E.

3.

Una botella pequeña de champú puede contener $35$ mililitros de champú, mientras que una botella grande puede contener $500$ mililitros de champú. Jasmine quiere comprar la cantidad mínima de botellas pequeñas necesaria para llenar por completo una botella grande. ¿Cuántas botellas debe comprar?

A small bottle of shampoo can hold $35$ milliliters of shampoo, whereas a large bottle can hold $500$ milliliters of shampoo. Jasmine wants to buy the minimum number of small bottles necessary to completely fill a large bottle. How many bottles must she buy?

$11$

$12$

$13$

$14$

$15$

Conceptos:funciones piso y techo estimación

Nivel de dificultad: 880

Pista pequeña:

Divide $500$ entre $35$

Divide $500$ by $35$

Pista grande:

Como $14$ botellas no alcanzan los $500,$ redondea el cociente hacia arriba

Since $14$ bottles fall short of $500,$ round the quotient up

Solución:

Catorce botellas contienen $14 \cdot 35 = 490$ mililitros, lo cual no es suficiente. Quince botellas contienen $15 \cdot 35 = 525$ mililitros, lo cual basta.

Así que Jasmine necesita $15$ botellas.

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

Fourteen bottles hold $14 \cdot 35 = 490$ milliliters, which is not enough. Fifteen bottles hold $15 \cdot 35 = 525$ milliliters, which suffices.

So Jasmine needs $15$ bottles.

Thus, the correct answer is E.

4.

En una escuela primaria, los estudiantes de tercer grado, cuarto grado y quinto grado corren un promedio de $12,$ $15,$ y $10$ minutos por día, respectivamente. Hay el doble de estudiantes de tercer grado que de cuarto grado, y el doble de estudiantes de cuarto grado que de quinto grado. ¿Cuál es el promedio de minutos corridos por día por estos estudiantes?

At an elementary school, the students in third grade, fourth grade, and fifth grade run an average of $12,$ $15,$ and $10$ minutes per day, respectively. There are twice as many third graders as fourth graders, and twice as many fourth graders as fifth graders. What is the average number of minutes run per day by these students?

$12$

$\dfrac{37}{3}$

$\dfrac{88}{7}$

$13$

$14$

Conceptos:media ponderada razón y proporción

Nivel de dificultad: 1040

Pista pequeña:

Sea la cantidad de estudiantes de quinto grado $1,$ entonces la de cuarto grado es $2$ y la de tercer grado es $4$

Let the number of fifth graders be $1,$ so fourth graders is $2$ and third graders is $4$

Pista grande:

El promedio es $\dfrac{4 \cdot 12 + 2 \cdot 15 + 1 \cdot 10}{4 + 2 + 1}$

The average is $\dfrac{4 \cdot 12 + 2 \cdot 15 + 1 \cdot 10}{4 + 2 + 1}$

Solución:

Toma los tamaños de los grados en la razón $4 : 2 : 1$ para tercer, cuarto y quinto grado. El promedio ponderado es $\begin{aligned} \dfrac{4\cdot12+2\cdot15+10}{7} \\ = \dfrac{48+30+10}{7} \\ = \dfrac{88}{7}. \end{aligned}$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Take the grade sizes in the ratio $4 : 2 : 1$ for third, fourth, and fifth grades. The weighted average is $\begin{aligned} \dfrac{4\cdot12+2\cdot15+10}{7} \\ = \dfrac{48+30+10}{7} \\ = \dfrac{88}{7}. \end{aligned}$

Thus, the correct answer is C.

5.

El verano pasado $30\%$ de las aves que vivían en Town Lake eran gansos, $25\%$ eran cisnes, $10\%$ eran garzas, y $35\%$ eran patos. ¿Qué porcentaje de las aves que no eran cisnes eran gansos?

Last summer $30\%$ of the birds living on Town Lake were geese, $25\%$ were swans, $10\%$ were herons, and $35\%$ were ducks. What percent of the birds that were not swans were geese?

$20$

$30$

$40$

$50$

$60$

Conceptos:porcentaje probabilidad condicional

Nivel de dificultad: 990

Pista pequeña:

Las aves que no son cisnes constituyen $75\%$ del total

The non-swan birds make up $75\%$ of the total

Pista grande:

Calcula $\dfrac{30}{75}$ como porcentaje

Compute $\dfrac{30}{75}$ as a percent

Solución:

Las aves que no son cisnes constituyen $100\% - 25\% = 75\%$ del total, y los gansos son $30\%$ del total. La fracción pedida es $\dfrac{30}{75} = \dfrac{2}{5} = 40\%.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

The birds that are not swans make up $100\% - 25\% = 75\%$ of the total, and geese are $30\%$ of the total. The requested fraction is $\dfrac{30}{75} = \dfrac{2}{5} = 40\%.$

Thus, the correct answer is C.

6.

Los jugadores de un equipo de baloncesto anotaron algunos tiros de tres puntos, algunos tiros de dos puntos, y algunos tiros libres de un punto. Anotaron tantos puntos con los tiros de dos puntos como con los de tres puntos. Su cantidad de tiros libres acertados fue uno más que su cantidad de tiros de dos puntos acertados. La puntuación total del equipo fue de $61$ puntos. ¿Cuántos tiros libres acertaron?

The players on a basketball team made some three-point shots, some two-point shots, and some one-point free throws. They scored as many points with two-point shots as with three-point shots. Their number of successful free throws was one more than their number of successful two-point shots. The team’s total score was $61$ points. How many free throws did they make?

$13$

$14$

$15$

$16$

$17$

Conceptos:sistema de ecuaciones sustitución

Nivel de dificultad: 1170

Pista pequeña:

Sea $a$ la cantidad de tiros de dos puntos; los puntos de los tiros de dos puntos y de tres puntos son $2a$ cada uno

Let $a$ be the number of two-point shots; the points from two-point and three-point shots are each $2a$

Pista grande:

Los tiros libres son $a + 1,$ así que el total es $2a + 2a + (a + 1)$

The free throws number $a + 1,$ so the total is $2a + 2a + (a + 1)$

Solución:

Sea $a$ la cantidad de tiros de dos puntos. Los tiros de dos puntos anotan $2a$ puntos, y los tiros de tres puntos anotan los mismos $2a$ puntos. Los tiros libres son $a + 1$ y anotan $a + 1$ puntos.

El total es $\begin{aligned} 2a + 2a + (a + 1) \\ = 5a + 1 = 61, \end{aligned}$ así que $a = 12$ y los tiros libres son $a + 1 = 13.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

Let $a$ be the number of two-point shots. The two-point shots score $2a$ points, and the three-point shots score the same $2a$ points. The free throws number $a + 1$ and score $a + 1$ points.

The total is $\begin{aligned} 2a + 2a + (a + 1) \\ = 5a + 1 = 61, \end{aligned}$ so $a = 12$ and the free throws number $a + 1 = 13.$

Thus, the correct answer is A.

7.

La mayoría de los $30$ estudiantes de la clase de la Sra. Demeanor compraron lápices en la librería de la escuela. Cada uno de estos estudiantes compró la misma cantidad de lápices, y esta cantidad era mayor que $1.$ El costo de un lápiz en centavos era mayor que la cantidad de lápices que compró cada estudiante, y el costo total de todos los lápices fue $\$17.71.$ ¿Cuál era el costo de un lápiz en centavos?

A majority of the $30$ students in Ms. Demeanor’s class bought pencils at the school bookstore. Each of these students bought the same number of pencils, and this number was greater than $1.$ The cost of a pencil in cents was greater than the number of pencils each student bought, and the total cost of all the pencils was $\$17.71.$ What was the cost of a pencil in cents?

$7$

$11$

$17$

$23$

$77$

Conceptos:factorización en primos divisibilidad acotación a casos límite

Nivel de dificultad: 1370

Pista pequeña:

Factoriza $1771 = 7 \cdot 11 \cdot 23$ y sea (estudiantes)(lápices)(costo) $= 1771$

Factor $1771 = 7 \cdot 11 \cdot 23$ and let (students)(pencils)(cost) $= 1771$

Pista grande:

Una mayoría significa más de $15$ estudiantes, así que la cantidad de estudiantes es $23$

A majority means more than $15$ students, so the number of students is $23$

Solución:

El total en centavos es $1771 = 7 \cdot 11 \cdot 23.$ Escribiendo (estudiantes)(lápices por persona)(costo por lápiz) $= 1771,$ la cantidad de estudiantes es un divisor de $1771$ que es una mayoría de $30,$ por lo tanto más de $15.$ El único divisor así es $23.$

Entonces (lápices)(costo) $= 77 = 7 \cdot 11$ con costo $\gt$ lápices $\gt 1,$ lo que obliga a $7$ lápices a $11$ centavos cada uno.

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Total cents is $1771 = 7 \cdot 11 \cdot 23.$ Writing (students)(pencils each)(cost per pencil) $= 1771,$ the number of students is a divisor of $1771$ that is a majority of $30,$ hence more than $15.$ The only such divisor is $23.$

Then (pencils)(cost) $= 77 = 7 \cdot 11$ with cost $\gt$ pencils $\gt 1,$ forcing $7$ pencils at $11$ cents each.

Thus, the correct answer is B.

8.

En la sucesión de ocho términos $A,$ $B,$ $C,$ $D,$ $E,$ $F,$ $G,$ $H,$ el valor de $C$ es $5$ y la suma de tres términos consecutivos cualesquiera es $30.$ ¿Cuánto vale $A + H$ ?

In the eight-term sequence $A,$ $B,$ $C,$ $D,$ $E,$ $F,$ $G,$ $H,$ the value of $C$ is $5$ and the sum of any three consecutive terms is $30.$ What is $A + H?$

$17$

$18$

$25$

$26$

$43$

Conceptos:reconocimiento de patrones manipulación algebraica

Nivel de dificultad: 1190

Pista pequeña:

Que las ternas consecutivas tengan sumas iguales obliga a que la sucesión se repita cada tres términos

Consecutive triples having equal sums forces the sequence to repeat every three terms

Pista grande:

Así que $H$ es igual a $B,$ lo que significa que $A + H$ es lo mismo que $A + B$

So $H$ equals $B,$ which means $A + H$ is the same as $A + B$

Solución:

Como $A + B + C = B + C + D = 30,$ obtenemos $D = A,$ y de igual manera la sucesión se repite con período $3.$ Así $H,$ el octavo término, es igual a $B.$

De $A + B + C = 30$ y $C = 5,$ tenemos $A + H = A + B = 30 - 5 = 25.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Since $A + B + C = B + C + D = 30,$ we get $D = A,$ and likewise the sequence repeats with period $3.$ Thus $H,$ the eighth term, equals $B.$

From $A + B + C = 30$ and $C = 5,$ we have $A + H = A + B = 30 - 5 = 25.$

Thus, the correct answer is C.

9.

En una convención de gemelos y trillizos, había $9$ conjuntos de gemelos y $6$ conjuntos de trillizos, todos de familias diferentes. Cada gemelo estrechó la mano de todos los gemelos excepto su hermano/hermana y de la mitad de los trillizos. Cada trillizo estrechó la mano de todos los trillizos excepto sus hermanos y de la mitad de los gemelos. ¿Cuántos apretones de manos hubo?

At a twins and triplets convention, there were $9$ sets of twins and $6$ sets of triplets, all from different families. Each twin shook hands with all the twins except his/her sibling and with half the triplets. Each triplet shook hands with all the triplets except his/her siblings and with half the twins. How many handshakes took place?

$324$

$441$

$630$

$648$

$882$

Conceptos:conteo de pares análisis por casos

Nivel de dificultad: 1440

Pista pequeña:

Hay $18$ gemelos y $18$ trillizos; cuenta por separado los apretones gemelo-gemelo, trillizo-trillizo, y gemelo-trillizo

There are $18$ twins and $18$ triplets; count twin-twin, triplet-triplet, and twin-triplet handshakes separately

Pista grande:

Cada gemelo saluda a $16$ gemelos y cada trillizo saluda a $15$ trillizos; divide esos dos totales entre $2$

Each twin greets $16$ twins and each triplet greets $15$ triplets; divide those two totals by $2$

Solución:

Hay $18$ gemelos y $18$ trillizos.

Apretones gemelo-gemelo: cada gemelo estrecha la mano de $18 - 2 = 16$ otros gemelos, lo que da $\dfrac{18 \cdot 16}{2} = 144.$

Apretones trillizo-trillizo: cada trillizo estrecha la mano de $18 - 3 = 15$ otros trillizos, lo que da $\dfrac{18 \cdot 15}{2} = 135.$

Apretones gemelo-trillizo: cada gemelo estrecha la mano de la mitad de los $18$ trillizos, lo que da $18 \cdot 9 = 162$ (cada apretón de este tipo se cuenta una vez).

El total es $144 + 135 + 162 = 441.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

There are $18$ twins and $18$ triplets.

Twin-twin handshakes: each twin shakes $18 - 2 = 16$ other twins, giving $\dfrac{18 \cdot 16}{2} = 144.$

Triplet-triplet handshakes: each triplet shakes $18 - 3 = 15$ other triplets, giving $\dfrac{18 \cdot 15}{2} = 135.$

Twin-triplet handshakes: each twin shakes half the $18$ triplets, giving $18 \cdot 9 = 162$ (each such handshake counted once).

The total is $144 + 135 + 162 = 441.$

Thus, the correct answer is B.

10.

Se lanza una vez un par de dados justos estándar de $6$ caras. La suma de los números obtenidos determina el diámetro de un círculo. ¿Cuál es la probabilidad de que el valor numérico del área del círculo sea menor que el valor numérico de la circunferencia del círculo?

A pair of standard $6$ -sided fair dice is rolled once. The sum of the numbers rolled determines the diameter of a circle. What is the probability that the numerical value of the area of the circle is less than the numerical value of the circle’s circumference?

$\dfrac{1}{36}$

$\dfrac{1}{12}$

$\dfrac{1}{6}$

$\dfrac{1}{4}$

$\dfrac{5}{18}$

Conceptos:dados (probabilidad)círculo desigualdad

Nivel de dificultad: 1370

Pista pequeña:

Con diámetro $d,$ el área es $\dfrac{\pi d^2}{4}$ y la circunferencia es $\pi d$

With diameter $d,$ the area is $\dfrac{\pi d^2}{4}$ and the circumference is $\pi d$

Pista grande:

La desigualdad $\dfrac{\pi d^2}{4} \lt \pi d$ se reduce a $d \lt 4$

The inequality $\dfrac{\pi d^2}{4} \lt \pi d$ reduces to $d \lt 4$

Solución:

Para diámetro $d,$ que el área $\lt$ circunferencia significa $\dfrac{\pi d^2}{4} \lt \pi d,$ es decir $d \lt 4.$ Como $d \ge 2,$ esto requiere una suma de $2$ o $3.$

Una suma de $2$ tiene probabilidad $\dfrac{1}{36}$ y una suma de $3$ tiene probabilidad $\dfrac{2}{36},$ lo que suma $\dfrac{3}{36} = \dfrac{1}{12}.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

For diameter $d,$ area $\lt$ circumference means $\dfrac{\pi d^2}{4} \lt \pi d,$ i.e. $d \lt 4.$ Since $d \ge 2,$ this needs a sum of $2$ or $3.$

A sum of $2$ has probability $\dfrac{1}{36}$ and a sum of $3$ has probability $\dfrac{2}{36},$ totaling $\dfrac{3}{36} = \dfrac{1}{12}.$

Thus, the correct answer is B.

11.

Los círculos $A,$ $B,$ y $C$ tienen cada uno radio $1.$ Los círculos $A$ y $B$ comparten un punto de tangencia. El círculo $C$ tiene un punto de tangencia con el punto medio de $\overline{AB}.$ ¿Cuál es el área dentro del círculo $C$ pero fuera del círculo $A$ y del círculo $B$ ?

Circles $A,$ $B,$ and $C$ each have radius $1.$ Circles $A$ and $B$ share one point of tangency. Circle $C$ has a point of tangency with the midpoint of $\overline{AB}.$ What is the area inside circle $C$ but outside circle $A$ and circle $B?$

$3 - \dfrac{\pi}{2}$

$\dfrac{\pi}{2}$

$2$

$\dfrac{3\pi}{4}$

$1 + \dfrac{\pi}{2}$

Conceptos:área del círculo circunferencias tangentes descomposición de áreas

Nivel de dificultad: 1540

Pista pequeña:

Coloca los centros en $A(-1,0),$ $B(1,0),$ y $C(0,1);$ la distancia de $C$ a cada uno de $A, B$ es $\sqrt2$

Place the centers at $A(-1,0),$ $B(1,0),$ and $C(0,1);$ the distance from $C$ to each of $A, B$ is $\sqrt2$

Pista grande:

El área buscada es el área de $C$ menos las dos superposiciones en forma de lente de $C$ con $A$ y con $B$

The wanted area is the area of $C$ minus the two lens-shaped overlaps of $C$ with $A$ and with $B$

Solución:

Coloca $A = (-1, 0),$ $B = (1, 0),$ de modo que su punto de tangencia es el origen, el punto medio de $\overline{AB}.$ Entonces $C = (0, 1),$ ya que $C$ pasa por el origen.

La distancia de $C$ a $A$ (y a $B$ ) es $\sqrt2.$ Dos círculos unitarios cuyos centros están a $\sqrt2$ de distancia se superponen en una lente de área $\begin{aligned} 2\cos^{-1}\!\left(\tfrac{\sqrt2}{2}\right) \\ {}- \tfrac{\sqrt2}{2}\sqrt{4 - 2} \\ = 2 \cdot \tfrac{\pi}{4} - 1 = \tfrac{\pi}{2} - 1. \end{aligned}$

Los círculos $A$ y $B$ se encuentran solo en el origen, así que las dos lentes no se superponen. El área buscada es $\pi - 2\left(\tfrac{\pi}{2} - 1\right) = 2.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Place $A = (-1, 0),$ $B = (1, 0),$ so their tangency point is the origin, the midpoint of $\overline{AB}.$ Then $C = (0, 1),$ since $C$ passes through the origin.

The distance from $C$ to $A$ (and to $B$ ) is $\sqrt2.$ Two unit circles whose centers are $\sqrt2$ apart overlap in a lens of area $\begin{aligned} 2\cos^{-1}\!\left(\tfrac{\sqrt2}{2}\right) \\ {}- \tfrac{\sqrt2}{2}\sqrt{4 - 2} \\ = 2 \cdot \tfrac{\pi}{4} - 1 = \tfrac{\pi}{2} - 1. \end{aligned}$

Circles $A$ and $B$ meet only at the origin, so the two lenses do not overlap. The wanted area is $\pi - 2\left(\tfrac{\pi}{2} - 1\right) = 2.$

Thus, the correct answer is C.

12.

Una lancha motora y una balsa salieron ambas del muelle $A$ en un río y se dirigieron río abajo. La balsa se dejó llevar a la velocidad de la corriente del río. La lancha motora mantuvo una velocidad constante con respecto al río. La lancha motora llegó al muelle $B$ río abajo, luego inmediatamente giró y viajó de vuelta río arriba. Finalmente se encontró con la balsa en el río $9$ horas después de salir del muelle $A.$ ¿Cuántas horas tardó la lancha motora en ir de $A$ a $B$ ?

A power boat and a raft both left dock $A$ on a river and headed downstream. The raft drifted at the speed of the river current. The power boat maintained a constant speed with respect to the river. The power boat reached dock $B$ downriver, then immediately turned and traveled back upriver. It eventually met the raft on the river $9$ hours after leaving dock $A.$ How many hours did it take the power boat to go from $A$ to $B?$

$3$

$3.5$

$4$

$4.5$

$5$

Conceptos:velocidad relativa distancia, velocidad y tiempo simetría

Nivel de dificultad: 1580

Pista pequeña:

Trabaja en el marco de referencia del agua, en el cual la balsa permanece quieta

Work in the frame of the water, in which the raft stays put

Pista grande:

Con respecto al agua la lancha viaja a la misma velocidad al ir y al volver, así que tarda tiempos iguales en cada trayecto

Relative to the water the boat travels at the same speed going out and coming back, so it takes equal times each way

Solución:

Mide todo con respecto al agua. En ese marco la balsa está inmóvil en el punto donde empezó la lancha, y la lancha se mueve a su velocidad constante $v$ con respecto al agua, tanto río abajo como río arriba.

La lancha deja la balsa, se aleja durante cierto tiempo, luego regresa a ella a la misma velocidad relativa, así que emplea tiempos iguales en ir y en volver. Por lo tanto el trayecto de ida hasta $B$ tarda la mitad de $9,$ que es $4.5$ horas.

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Measure everything relative to the water. In that frame the raft is stationary at the point where the boat started, and the boat moves at its constant speed $v$ relative to the water, both downstream and upstream.

The boat leaves the raft, travels away for some time, then returns to it at the same relative speed, so it spends equal times going and returning. Hence the outbound leg to $B$ takes half of $9,$ which is $4.5$ hours.

Thus, the correct answer is D.

13.

El triángulo $ABC$ tiene longitudes de lados $AB = 12,$ $BC = 24,$ y $AC = 18.$ La recta que pasa por el incentro de $\triangle ABC$ paralela a $\overline{BC}$ corta a $\overline{AB}$ en $M$ y a $\overline{AC}$ en $N.$ ¿Cuál es el perímetro de $\triangle AMN$ ?

Triangle $ABC$ has side-lengths $AB = 12,$ $BC = 24,$ and $AC = 18.$ The line through the incenter of $\triangle ABC$ parallel to $\overline{BC}$ intersects $\overline{AB}$ at $M$ and $\overline{AC}$ at $N.$ What is the perimeter of $\triangle AMN?$

$27$

$30$

$33$

$36$

$42$

Conceptos:circunferencia inscrita, incentro e inradio rectas paralelas triángulo isósceles

Nivel de dificultad: 1600

Pista pequeña:

Sea $I$ el incentro. Como $MN \parallel BC,$ el ángulo $\angle MIB$ es igual a $\angle IBC$

Let $I$ be the incenter. Since $MN \parallel BC,$ the angle $\angle MIB$ equals $\angle IBC$

Pista grande:

Eso hace que $\triangle MBI$ sea isósceles con $MB = MI,$ y de manera similar $NC = NI$

That makes $\triangle MBI$ isosceles with $MB = MI,$ and similarly $NC = NI$

Solución:

Sea $I$ el incentro. Como $\overline{BI}$ biseca $\angle B$ y $MN \parallel BC,$ los ángulos alternos dan $\angle MIB = \angle IBC = \angle MBI,$ así que $\triangle MBI$ es isósceles con $MB = MI.$ De manera similar $NC = NI.$

Por lo tanto el perímetro de $\triangle AMN$ es $\begin{gathered} AM + MN + NA \\ = AM + (MI + IN) + NA \\ = AM + MB + NC + NA \\ = AB + AC = 12 + 18 = 30. \end{gathered}$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Let $I$ be the incenter. Because $\overline{BI}$ bisects $\angle B$ and $MN \parallel BC,$ alternate angles give $\angle MIB = \angle IBC = \angle MBI,$ so $\triangle MBI$ is isosceles with $MB = MI.$ Similarly $NC = NI.$

Therefore the perimeter of $\triangle AMN$ is $\begin{gathered} AM + MN + NA \\ = AM + (MI + IN) + NA \\ = AM + MB + NC + NA \\ = AB + AC = 12 + 18 = 30. \end{gathered}$

Thus, the correct answer is B.

14.

Supongamos que $a$ y $b$ son enteros positivos de un solo dígito elegidos de forma independiente y al azar. ¿Cuál es la probabilidad de que el punto $(a, b)$ esté por encima de la parábola $y = ax^2 - bx$ ?

Suppose $a$ and $b$ are single-digit positive integers chosen independently and at random. What is the probability that the point $(a, b)$ lies above the parabola $y = ax^2 - bx?$

$\dfrac{11}{81}$

$\dfrac{13}{81}$

$\dfrac{5}{27}$

$\dfrac{17}{81}$

$\dfrac{19}{81}$

Conceptos:parábola probabilidad básica análisis por casos

Nivel de dificultad: 1690

Pista pequeña:

El punto está por encima de la parábola cuando $b \gt a \cdot a^2 - b \cdot a,$ es decir $b(a + 1) \gt a^3$

The point is above the parabola when $b \gt a \cdot a^2 - b \cdot a,$ i.e. $b(a + 1) \gt a^3$

Pista grande:

Cuenta los $b$ válidos en $\{1, \ldots, 9\}$ para cada $a;$ solo $a = 1, 2, 3$ permiten alguno

Count valid $b$ in $\{1, \ldots, 9\}$ for each $a;$ only $a = 1, 2, 3$ allow any

Solución:

Sustituyendo $x = a,$ $y = b,$ el punto está por encima de la parábola cuando $b \gt a^3 - ab,$ es decir $b(a + 1) \gt a^3.$

Para $a = 1:$ $b \gt \tfrac12,$ los $9$ valores sirven. Para $a = 2:$ $b \gt \tfrac83,$ así que $b \ge 3,$ lo que da $7.$ Para $a = 3:$ $b \gt \tfrac{27}{4} = 6.75,$ así que $b \ge 7,$ lo que da $3.$ Para $a \ge 4,$ ningún $b \le 9$ sirve.

El conteo es $9 + 7 + 3 = 19$ de $81,$ así que la probabilidad es $\dfrac{19}{81}.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

Substituting $x = a,$ $y = b,$ the point is above the parabola when $b \gt a^3 - ab,$ i.e. $b(a + 1) \gt a^3.$

For $a = 1:$ $b \gt \tfrac12,$ all $9$ values work. For $a = 2:$ $b \gt \tfrac83,$ so $b \ge 3,$ giving $7.$ For $a = 3:$ $b \gt \tfrac{27}{4} = 6.75,$ so $b \ge 7,$ giving $3.$ For $a \ge 4,$ no $b \le 9$ works.

The count is $9 + 7 + 3 = 19$ out of $81,$ so the probability is $\dfrac{19}{81}.$

Thus, the correct answer is E.

15.

La base circular de una semiesfera de radio $2$ descansa sobre la base de una pirámide cuadrada de altura $6.$ La semiesfera es tangente a las otras cuatro caras de la pirámide. ¿Cuál es la longitud de la arista de la base de la pirámide?

The circular base of a hemisphere of radius $2$ rests on the base of a square pyramid of height $6.$ The hemisphere is tangent to the other four faces of the pyramid. What is the edge-length of the base of the pyramid?

$3\sqrt{2}$

$\dfrac{13}{3}$

$4\sqrt{2}$

$6$

$\dfrac{13}{2}$

Conceptos:Geometría 3D pirámide fórmula de la distancia

Nivel de dificultad: 1870

Pista pequeña:

Toma la sección transversal que pasa por el ápice y los puntos medios de dos aristas opuestas de la base

Take the cross-section through the apex and the midpoints of two opposite base edges

Pista grande:

En esa sección transversal, la recta inclinada va de $\left(\tfrac{s}{2}, 0\right)$ a $(0, 6),$ y su distancia al centro es $2$

In that cross-section, the slant line runs from $\left(\tfrac{s}{2}, 0\right)$ to $(0, 6),$ and its distance from the center is $2$

Solución:

Sea la base con lado $s,$ centrada en el origen, con el ápice a altura $6.$ Corta con el plano vertical que pasa por el ápice y los puntos medios de dos aristas opuestas de la base. La cara inclinada aparece como la recta de $\left(\tfrac{s}{2}, 0\right)$ a $(0, 6).$

Esta recta es $\tfrac{2}{s}x + \tfrac16 y = 1.$ La semiesfera es tangente a la cara, así que la distancia del origen a esta recta es el radio $2:$ $\dfrac{1}{\sqrt{\tfrac{4}{s^2} + \tfrac{1}{36}}} = 2.$

Entonces $\tfrac{4}{s^2} + \tfrac{1}{36} = \tfrac14,$ así que $\tfrac{4}{s^2} = \tfrac{2}{9}$ y $s^2 = 18,$ lo que da $s = 3\sqrt2.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

Let the base have side $s,$ centered at the origin, with apex at height $6.$ Cut with the vertical plane through the apex and the midpoints of two opposite base edges. The slant face appears as the line from $\left(\tfrac{s}{2}, 0\right)$ to $(0, 6).$

This line is $\tfrac{2}{s}x + \tfrac16 y = 1.$ The hemisphere is tangent to the face, so the distance from the origin to this line is the radius $2:$ $\dfrac{1}{\sqrt{\tfrac{4}{s^2} + \tfrac{1}{36}}} = 2.$

Then $\tfrac{4}{s^2} + \tfrac{1}{36} = \tfrac14,$ so $\tfrac{4}{s^2} = \tfrac{2}{9}$ and $s^2 = 18,$ giving $s = 3\sqrt2.$

Thus, the correct answer is A.

16.

A cada vértice del pentágono convexo $ABCDE$ se le debe asignar un color. Hay $6$ colores para elegir, y los extremos de cada diagonal deben tener colores diferentes. ¿Cuántas coloraciones diferentes son posibles?

Each vertex of convex pentagon $ABCDE$ is to be assigned a color. There are $6$ colors to choose from, and the ends of each diagonal must have different colors. How many different colorings are possible?

$2520$

$2880$

$3120$

$3250$

$3750$

Conceptos:teoría de grafos inclusión-exclusión

Nivel de dificultad: 1820

Pista pequeña:

Las cinco diagonales $AC, CE, EB, BD, DA$ forman un único $5$ -ciclo entre los vértices

The five diagonals $AC, CE, EB, BD, DA$ form a single $5$ -cycle among the vertices

Pista grande:

El número de coloraciones propias de un ciclo de longitud $n$ con $k$ colores es $(k-1)^n + (-1)^n (k-1)$

The number of proper colorings of a cycle of length $n$ with $k$ colors is $(k-1)^n + (-1)^n (k-1)$

Solución:

Las diagonales conectan los vértices en el orden $A - C - E - B - D - A,$ que es un $5$ -ciclo. La condición es exactamente que este ciclo esté coloreado de forma propia.

El número de $k$ -coloraciones propias de un ciclo de longitud $n$ es $(k-1)^n + (-1)^n (k-1).$ Con $n = 5$ y $k = 6,$ $\begin{gathered} 5^5 + (-1)^5 \cdot 5 \\ = 3125 - 5 = 3120. \end{gathered}$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

The diagonals connect the vertices in the order $A - C - E - B - D - A,$ which is a $5$ -cycle. The condition is exactly that this cycle is properly colored.

The number of proper $k$ -colorings of a cycle of length $n$ is $(k-1)^n + (-1)^n (k-1).$ With $n = 5$ and $k = 6,$ $\begin{gathered} 5^5 + (-1)^5 \cdot 5 \\ = 3125 - 5 = 3120. \end{gathered}$

Thus, the correct answer is C.

17.

Círculos con radios $1,$ $2,$ y $3$ son mutuamente tangentes exteriores. ¿Cuál es el área del triángulo determinado por los puntos de tangencia?

Circles with radii $1,$ $2,$ and $3$ are mutually externally tangent. What is the area of the triangle determined by the points of tangency?

$\dfrac{3}{5}$

$\dfrac{4}{5}$

$1$

$\dfrac{6}{5}$

$\dfrac{4}{3}$

Conceptos:circunferencias tangentes geometría analítica fórmula del cordón

Nivel de dificultad: 1920

Pista pequeña:

Los centros forman un triángulo con lados $1+2,$ $2+3,$ $1+3,$ es decir un triángulo rectángulo $3$ - $4$ - $5$

The centers form a triangle with sides $1+2,$ $2+3,$ $1+3,$ i.e. a $3$ - $4$ - $5$ right triangle

Pista grande:

Coloca el ángulo recto en el centro del círculo de radio $1$ y ubica cada punto de tangencia en el segmento que conecta

Put the right angle at the center of the radius- $1$ circle and locate each tangency point on the connecting segment

Solución:

Los centros están separados por las sumas de radios: $3,$ $4,$ y $5,$ un triángulo rectángulo con el ángulo recto en el centro de radio $1$ . Coloca ese centro en $(0,0),$ el centro de radio $2$ en $(3,0),$ y el centro de radio $3$ en $(0,4).$

Los puntos de tangencia están sobre los segmentos a distancias iguales a los radios: $(1, 0),$ $(0, 1),$ y sobre la hipotenusa en $(3,0) + 2 \cdot \tfrac{(-3,4)}{5} = \left(\tfrac95, \tfrac85\right).$

Por la fórmula del cordón, el área es $\begin{gathered} \tfrac12\left| 1\left(1 - \tfrac85\right) + 0 + \tfrac95(0 - 1) \right| \\ = \tfrac12 \cdot \tfrac{12}{5} = \tfrac65. \end{gathered}$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

The centers are separated by the sums of radii: $3,$ $4,$ and $5,$ a right triangle with the right angle at the radius- $1$ center. Place that center at $(0,0),$ the radius- $2$ center at $(3,0),$ and the radius- $3$ center at $(0,4).$

The tangency points lie on the segments at distances equal to the radii: $(1, 0),$ $(0, 1),$ and on the hypotenuse at $(3,0) + 2 \cdot \tfrac{(-3,4)}{5} = \left(\tfrac95, \tfrac85\right).$

By the shoelace formula the area is $\begin{gathered} \tfrac12\left| 1\left(1 - \tfrac85\right) + 0 + \tfrac95(0 - 1) \right| \\ = \tfrac12 \cdot \tfrac{12}{5} = \tfrac65. \end{gathered}$

Thus, the correct answer is D.

18.

Supongamos que $|x + y| + |x - y| = 2.$ ¿Cuál es el máximo valor posible de $x^2 - 6x + y^2$ ?

Suppose that $|x + y| + |x - y| = 2.$ What is the maximum possible value of $x^2 - 6x + y^2?$

$5$

$6$

$7$

$8$

$9$

Conceptos:valor absoluto optimización cuadrado (geometría)

Nivel de dificultad: 1840

Pista pequeña:

La ecuación $|x+y| + |x-y| = 2$ significa $\max(|x|, |y|) = 1,$ la frontera del cuadrado $[-1,1]^2$

The equation $|x+y| + |x-y| = 2$ means $\max(|x|, |y|) = 1,$ the boundary of the square $[-1,1]^2$

Pista grande:

En ese cuadrado, $x^2 - 6x + y^2$ es mayor cuando $x = -1$ y $y = \pm 1$

On that square, $x^2 - 6x + y^2$ is largest when $x = -1$ and $y = \pm 1$

Solución:

La identidad $|x+y| + |x-y|$ $= 2\max(|x|, |y|)$ convierte la condición en $\max(|x|, |y|) = 1,$ la frontera del cuadrado con $|x| \le 1$ y $|y| \le 1.$

En esta región $x^2 - 6x + y^2$ aumenta a medida que $x$ disminuye y a medida que $y^2$ aumenta, así que el máximo está en $x = -1,$ $y = \pm 1:$ $1 + 6 + 1 = 8.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

The identity $|x+y| + |x-y|$ $= 2\max(|x|, |y|)$ turns the condition into $\max(|x|, |y|) = 1,$ the boundary of the square with $|x| \le 1$ and $|y| \le 1.$

On this region $x^2 - 6x + y^2$ increases as $x$ decreases and as $y^2$ increases, so the maximum is at $x = -1,$ $y = \pm 1:$ $1 + 6 + 1 = 8.$

Thus, the correct answer is D.

19.

En una competición con $N$ jugadores, la cantidad de jugadores a los que se les otorga estatus de élite es igual a $2^{1 + \lfloor \log_2 (N - 1) \rfloor} - N.$ Supongamos que a $19$ jugadores se les otorga estatus de élite. ¿Cuál es la suma de los dos menores valores posibles de $N$ ?

Nota: $\lfloor x \rfloor$ es el mayor entero menor o igual que $x.$

At a competition with $N$ players, the number of players given elite status is equal to $2^{1 + \lfloor \log_2 (N - 1) \rfloor} - N.$ Suppose that $19$ players are given elite status. What is the sum of the two smallest possible values of $N?$

Note: $\lfloor x \rfloor$ is the greatest integer less than or equal to $x.$

$38$

$90$

$154$

$406$

$1024$

Conceptos:funciones piso y techo potencia de 2 análisis por casos

Nivel de dificultad: 2150

Pista pequeña:

Sea $m = \lfloor \log_2 (N-1) \rfloor,$ entonces $N = 2^{m+1} - 19$

Let $m = \lfloor \log_2 (N-1) \rfloor,$ so $N = 2^{m+1} - 19$

Pista grande:

Para que ese $m$ sea consistente, $2^m \le N - 1,$ lo que obliga a $2^m \ge 20$

For that $m$ to be consistent, $2^m \le N - 1,$ which forces $2^m \ge 20$

Solución:

Sea $m = \lfloor \log_2 (N - 1) \rfloor,$ así que la cantidad de élite es $2^{m+1} - N = 19,$ lo que da $N = 2^{m+1} - 19.$

La consistencia requiere $2^m \le N - 1 = 2^{m+1} - 20,$ es decir $2^m \ge 20,$ así que $m \ge 5.$

Las dos menores opciones son $m = 5$ que da $N = 64 - 19 = 45,$ y $m = 6$ que da $N = 128 - 19 = 109.$ Su suma es $154.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Let $m = \lfloor \log_2 (N - 1) \rfloor,$ so the elite count is $2^{m+1} - N = 19,$ giving $N = 2^{m+1} - 19.$

Consistency requires $2^m \le N - 1 = 2^{m+1} - 20,$ i.e. $2^m \ge 20,$ so $m \ge 5.$

The two smallest choices are $m = 5$ giving $N = 64 - 19 = 45,$ and $m = 6$ giving $N = 128 - 19 = 109.$ Their sum is $154.$

Thus, the correct answer is C.

20.

Sea $f(x) = ax^2 + bx + c,$ donde $a,$ $b,$ y $c$ son enteros. Supongamos que $f(1) = 0,$ $50 \lt f(7) \lt 60,$ $70 \lt f(8) \lt 80,$ y $5000k \lt f(100) \lt 5000(k+1)$ para algún entero $k.$ ¿Cuánto vale $k$ ?

Let $f(x) = ax^2 + bx + c,$ where $a,$ $b,$ and $c$ are integers. Suppose that $f(1) = 0,$ $50 \lt f(7) \lt 60,$ $70 \lt f(8) \lt 80,$ and $5000k \lt f(100) \lt 5000(k+1)$ for some integer $k.$ What is $k?$

$1$

$2$

$3$

$4$

$5$

Conceptos:cuadrática sistema de ecuaciones acotación a casos límite

Nivel de dificultad: 2030

Pista pequeña:

De $f(1) = 0,$ $c = -a - b,$ así que $f(7) = 6(8a + b)$ y $f(8) = 7(9a + b)$

From $f(1) = 0,$ $c = -a - b,$ so $f(7) = 6(8a + b)$ and $f(8) = 7(9a + b)$

Pista grande:

Las cotas obligan a $8a + b = 9$ y $9a + b = 11$

The bounds force $8a + b = 9$ and $9a + b = 11$

Solución:

Como $f(1) = a + b + c = 0,$ tenemos $c = -a - b.$ Entonces $f(7) = 48a + 6b = 6(8a + b),$ $f(8) = 63a + 7b = 7(9a + b).$

De $50 \lt 6(8a + b) \lt 60$ obtenemos $8a + b = 9,$ y de $70 \lt 7(9a + b) \lt 80$ obtenemos $9a + b = 11.$ Restando, $a = 2,$ luego $b = -7$ y $c = 5.$

Así que $f(100) = 20000 - 700 + 5$ $= 19305,$ que está en $5000 \cdot 3 \lt 19305 \lt 5000 \cdot 4,$ lo que da $k = 3.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Since $f(1) = a + b + c = 0,$ we have $c = -a - b.$ Then $f(7) = 48a + 6b = 6(8a + b),$ $f(8) = 63a + 7b = 7(9a + b).$

From $50 \lt 6(8a + b) \lt 60$ we get $8a + b = 9,$ and from $70 \lt 7(9a + b) \lt 80$ we get $9a + b = 11.$ Subtracting, $a = 2,$ then $b = -7$ and $c = 5.$

So $f(100) = 20000 - 700 + 5$ $= 19305,$ which lies in $5000 \cdot 3 \lt 19305 \lt 5000 \cdot 4,$ giving $k = 3.$

Thus, the correct answer is C.

21.

Sea $f_1(x) = \sqrt{1 - x},$ y para enteros $n \ge 2,$ sea $f_n(x) = f_{n-1}\!\left(\sqrt{n^2 - x}\right).$ Si $N$ es el mayor valor de $n$ para el cual el dominio de $f_n$ es no vacío, el dominio de $f_N$ es $\{c\}.$ ¿Cuánto vale $N + c$ ?

Let $f_1(x) = \sqrt{1 - x},$ and for integers $n \ge 2,$ let $f_n(x) = f_{n-1}\!\left(\sqrt{n^2 - x}\right).$ If $N$ is the largest value of $n$ for which the domain of $f_n$ is nonempty, the domain of $f_N$ is $\{c\}.$ What is $N + c?$

$-226$

$-144$

$-20$

$20$

$144$

Conceptos:función radical recursión

Nivel de dificultad: 2270

Pista pequeña:

Construye los dominios de adentro hacia afuera: $f_n$ requiere que $\sqrt{n^2 - x}$ esté en el dominio de $f_{n-1}$

Build the domains outward: $f_n$ needs $\sqrt{n^2 - x}$ to lie in the domain of $f_{n-1}$

Pista grande:

Los tres primeros dominios son $(-\infty,1],$ $[3,4],$ y $[-7,0];$ continúa recordando que una raíz cuadrada es no negativa

The first three domains are $(-\infty,1],$ $[3,4],$ and $[-7,0];$ continue while remembering that a square root is nonnegative

Solución:

Cada paso requiere que $\sqrt{n^2 - x}$ esté en el dominio de $f_{n-1}.$ Siguiendo los dominios:

$f_1: (-\infty, 1].$ $f_2: \sqrt{4 - x} \in (-\infty, 1] \Rightarrow [3, 4].$ $f_3: \sqrt{9 - x} \in [3, 4] \Rightarrow [-7, 0].$ $f_4: \sqrt{16 - x} \in [-7, 0] \Rightarrow \{16\}$ (solo el valor $0$ es posible). $f_5: \sqrt{25 - x} = 16 \Rightarrow \{-231\}.$

Para $f_6$ necesitaríamos $\sqrt{36 - x} = -231,$ imposible, así que el dominio es vacío. Por lo tanto $N = 5,$ $c = -231,$ y $N + c = -226.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

Each step requires $\sqrt{n^2 - x}$ to lie in the domain of $f_{n-1}.$ Tracking the domains:

$f_1: (-\infty, 1].$ $f_2: \sqrt{4 - x} \in (-\infty, 1] \Rightarrow [3, 4].$ $f_3: \sqrt{9 - x} \in [3, 4] \Rightarrow [-7, 0].$ $f_4: \sqrt{16 - x} \in [-7, 0] \Rightarrow \{16\}$ (only the value $0$ is possible). $f_5: \sqrt{25 - x} = 16 \Rightarrow \{-231\}.$

For $f_6$ we would need $\sqrt{36 - x} = -231,$ impossible, so the domain is empty. Hence $N = 5,$ $c = -231,$ and $N + c = -226.$

Thus, the correct answer is A.

22.

Sea $R$ una región cuadrada y $n \ge 4$ un entero. Un punto $X$ en el interior de $R$ se llama $n$ -radial particional si hay $n$ rayos que emanan de $X$ y dividen $R$ en $n$ triángulos de igual área. ¿Cuántos puntos son $100$ -radiales particionales pero no $60$ -radiales particionales?

Let $R$ be a square region and $n \ge 4$ an integer. A point $X$ in the interior of $R$ is called $n$ -ray partitional if there are $n$ rays emanating from $X$ that divide $R$ into $n$ triangles of equal area. How many points are $100$ -ray partitional but not $60$ -ray partitional?

$1500$

$1560$

$2320$

$2480$

$2500$

Conceptos:área punto reticular conteo complementario

Nivel de dificultad: 2460

Pista pequeña:

Los puntos $n$ -radiales particionales forman una cuadrícula: para $n = 2m,$ son los puntos interiores $\left(\tfrac{i}{m}, \tfrac{j}{m}\right),$ una matriz $(m-1) \times (m-1)$

The $n$ -ray partitional points form a grid: for $n = 2m,$ they are the interior points $\left(\tfrac{i}{m}, \tfrac{j}{m}\right),$ an $(m-1) \times (m-1)$ array

Pista grande:

Un punto es a la vez $100$ - y $60$ -radial particional exactamente cuando es $20$ -radial particional

A point is both $100$ - and $60$ -ray partitional exactly when it is $20$ -ray partitional

Solución:

Escalemos el cuadrado a $[0,1]^2$ y escribamos $X=(x,y).$ Los rayos deben incluir los que pasan por los cuatro vértices. Cada triángulo pequeño tiene área $\frac{1}{n}.$ Los triángulos cuyas bases dividen el lado inferior tienen área total $\frac{y}{2},$ así que su cantidad es $\frac{ny}{2}.$ Del mismo modo, las cantidades junto a los lados superior, izquierdo y derecho son $\frac{n(1-y)}{2},$ $\frac{nx}{2},$ y $\frac{n(1-x)}{2}.$

Estos cuatro números deben ser enteros positivos. Por tanto, $n$ es par y $\begin{gathered} X=\left(\dfrac{2i}{n},\dfrac{2j}{n}\right), \\ 1\le i,j\le\dfrac n2-1. \end{gathered}$ Recíprocamente, al dividir cada lado en la cantidad indicada de segmentos iguales y unir los puntos de división con $X$ , se producen $n$ triángulos de igual área. Estos son exactamente los puntos particionales.

Para $n=100,$ los puntos son $(\frac{i}{50},\frac{j}{50})$ con $1\le i,j\le49,$ lo que da $49^2=2401.$ Un punto así también es particional de $60$ rayos exactamente cuando $\frac{i}{50}=\frac{c}{30}$ y $\frac{j}{50}=\frac{d}{30}$ para enteros $c,d.$ Por tanto, $i$ y $j$ deben ser múltiplos de $5.$ Hay $9$ opciones para cada uno, de modo que la intersección tiene $9^2=81$ puntos.

Así, el conteo es $2401 - 81 = 2320.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Scale the square to $[0,1]^2$ and write $X=(x,y).$ The rays must include those through the four vertices. Every small triangle has area $\frac{1}{n}.$ The triangles whose bases partition the bottom side together have area $\frac{y}{2},$ so their number is $\frac{ny}{2}.$ Similarly, the numbers along the top, left, and right sides are $\frac{n(1-y)}{2},$ $\frac{nx}{2},$ and $\frac{n(1-x)}{2}.$

These four numbers must be positive integers. Hence $n$ is even and $\begin{gathered} X=\left(\dfrac{2i}{n},\dfrac{2j}{n}\right), \\ 1\le i,j\le\dfrac n2-1. \end{gathered}$ Conversely, partitioning each side into the indicated number of equal segments and joining the division points to $X$ produces $n$ equal-area triangles. Thus these are exactly the partitional points.

For $n=100,$ the points are $(\frac{i}{50},\frac{j}{50})$ with $1\le i,j\le49,$ giving $49^2=2401.$ Such a point is also $60$ -ray partitional exactly when $\frac{i}{50}=\frac{c}{30}$ and $\frac{j}{50}=\frac{d}{30}$ for integers $c,d.$ Thus $i$ and $j$ must both be multiples of $5.$ There are $9$ choices for each, so the overlap has $9^2=81$ points.

So the count is $2401 - 81 = 2320.$

Thus, the correct answer is C.

23.

Sea $f(z) = \dfrac{z + a}{z + b}$ y $g(z) = f(f(z)),$ donde $a$ y $b$ son números complejos. Supongamos que $|a| = 1$ y $g(g(z)) = z$ para todo $z$ para el cual $g(g(z))$ está definido. ¿Cuál es la diferencia entre el mayor y el menor valor posible de $|b|$ ?

Let $f(z) = \dfrac{z + a}{z + b}$ and $g(z) = f(f(z)),$ where $a$ and $b$ are complex numbers. Suppose that $|a| = 1$ and $g(g(z)) = z$ for all $z$ for which $g(g(z))$ is defined. What is the difference between the largest and smallest possible values of $|b|?$

$0$

$\sqrt{2} - 1$

$\sqrt{3} - 1$

$1$

$2$

Conceptos:número complejo matriz raíces de la unidad

Nivel de dificultad: 2560

Pista pequeña:

Representa $f$ con la matriz $\begin{pmatrix} 1 & a \\ 1 & b \end{pmatrix};$ entonces $g(g(z)) = z$ significa que $f^4$ es la identidad

Represent $f$ by the matrix $\begin{pmatrix} 1 & a \\ 1 & b \end{pmatrix};$ then $g(g(z)) = z$ means $f^4$ is the identity

Pista grande:

El caso de orden $4$ obliga a $(\operatorname{tr})^2 = 2\det,$ lo que da $b^2 = -(1 + 2a)$

The order- $4$ case forces $(\operatorname{tr})^2 = 2\det,$ which gives $b^2 = -(1 + 2a)$

Solución:

La composición directa da $g(z)=\dfrac{Az+B}{Cz+D},$ donde $A=1+a,$ $B=a(1+b),$ $C=1+b,$ y $D=a+b^2.$

La matriz $\begin{pmatrix}A&B\\C&D\end{pmatrix}$ representa a $g.$ Para que $g\circ g$ sea la identidad, su cuadrado debe ser escalar. Al comparar las entradas fuera de la diagonal y las dos entradas diagonales, hay dos posibilidades: o bien $B=C=0$ y $A=D,$ o bien $A+D=0.$ La primera da $b=-1$ (con $a\ne-1$ ); la segunda da $b^2=-(1+2a).$

En el segundo caso, $|b|^2=|1+2a|.$ Cuando $a$ recorre el círculo unitario, $|1+2a|$ varía de $1$ a $3,$ así que $1\le|b|\le\sqrt3.$ Ambos extremos se alcanzan: tomemos $(a,b)=(-1,1)$ y $(a,b)=(1,i\sqrt3).$ El caso separado $b=-1$ también tiene $|b|=1.$ Por tanto, la diferencia pedida es $\sqrt3-1.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Direct composition gives $g(z)=\dfrac{Az+B}{Cz+D},$ where $A=1+a,$ $B=a(1+b),$ $C=1+b,$ and $D=a+b^2.$

The matrix $\begin{pmatrix}A&B\\C&D\end{pmatrix}$ represents $g.$ For $g\circ g$ to be the identity, its square must be scalar. Comparing the off-diagonal entries and the two diagonal entries gives two possibilities: either $B=C=0$ and $A=D,$ or $A+D=0.$ The first gives $b=-1$ (with $a\ne-1$ ); the second gives $b^2=-(1+2a).$

In the second case, $|b|^2=|1+2a|.$ As $a$ runs around the unit circle, $|1+2a|$ ranges from $1$ to $3,$ so $1\le|b|\le\sqrt3.$ Both endpoints occur: take $(a,b)=(-1,1)$ and $(a,b)=(1,i\sqrt3).$ The separate case $b=-1$ also has $|b|=1.$ Therefore the requested difference is $\sqrt3-1.$

Thus, the correct answer is C.

24.

Considera todos los cuadriláteros $ABCD$ tales que $AB = 14,$ $BC = 9,$ $CD = 7,$ y $DA = 12.$ ¿Cuál es el radio del mayor círculo posible que cabe dentro o sobre la frontera de tal cuadrilátero?

Consider all quadrilaterals $ABCD$ such that $AB = 14,$ $BC = 9,$ $CD = 7,$ and $DA = 12.$ What is the radius of the largest possible circle that fits inside or on the boundary of such a quadrilateral?

$\sqrt{15}$

$\sqrt{21}$

$2\sqrt{6}$

$5$

$2\sqrt{7}$

Conceptos:circunferencia inscrita, incentro e inradio Fórmula de Brahmagupta cuadrilátero cíclico optimización

Nivel de dificultad: 2460

Pista pequeña:

Si cabe un círculo de radio $r$ , al dividir desde su centro se ve que el área del cuadrilátero es al menos $21r$

If a circle of radius $r$ fits, splitting from its center shows the quadrilateral’s area is at least $21r$

Pista grande:

La desigualdad de Bretschneider acota el área mediante el caso cíclico; el caso de igualdad también es tangencial porque las sumas de lados opuestos son iguales

Bretschneider’s inequality bounds the area by the cyclic case; the equality case is also tangential because opposite side sums are equal

Solución:

Supongamos que un círculo de radio $r$ y centro $X$ cabe en uno de los cuadriláteros. Si $h_1,h_2,h_3,h_4$ son las distancias de $X$ a las rectas que contienen los cuatro lados, entonces cada $h_i\ge r.$ Al dividir el cuadrilátero en cuatro triángulos, $\begin{aligned} K&=\dfrac12(14h_1+9h_2 \\ &\qquad+7h_3+12h_4) \\ &\ge21r. \end{aligned}$

La desigualdad de Bretschneider acota el área de todo cuadrilátero con estos lados mediante el caso cíclico: $\begin{aligned} K^2&\le(21-14)(21-9) \\ &\qquad\cdot(21-7)(21-12) \\ &=7\cdot12\cdot14\cdot9, \\ K&\le42\sqrt6. \end{aligned}$

Por tanto, $r\le \frac{K}{21}\le2\sqrt6.$ La igualdad se alcanza: el cuadrilátero cíclico con estos lados también es tangencial porque $14+7=9+12,$ y su incírculo tiene radio $\frac{K}{21}=2\sqrt6.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Suppose a circle of radius $r$ centered at $X$ fits in one of the quadrilaterals. If $h_1,h_2,h_3,h_4$ are the distances from $X$ to the four side lines, then each $h_i\ge r.$ Splitting the quadrilateral into four triangles gives $\begin{aligned} K&=\dfrac12(14h_1+9h_2 \\ &\qquad+7h_3+12h_4) \\ &\ge21r. \end{aligned}$

Bretschneider’s inequality bounds the area of any quadrilateral with these sides by the cyclic case: $\begin{aligned} K^2&\le(21-14)(21-9) \\ &\qquad\cdot(21-7)(21-12) \\ &=7\cdot12\cdot14\cdot9, \\ K&\le42\sqrt6. \end{aligned}$

Therefore $r\le \frac{K}{21}\le2\sqrt6.$ Equality is attainable: the cyclic quadrilateral with these sides is also tangential because $14+7=9+12,$ and its incircle has radius $\frac{K}{21}=2\sqrt6.$

Thus, the correct answer is C.

25.

El triángulo $ABC$ tiene $\angle BAC = 60^\circ,$ $\angle CBA \le 90^\circ,$ $BC = 1,$ y $AC \ge AB.$ Sean $H,$ $I,$ y $O$ el ortocentro, el incentro y el circuncentro de $\triangle ABC,$ respectivamente. Supongamos que el área del pentágono $BCOIH$ es la máxima posible. ¿Cuánto vale $\angle CBA$ ?

Triangle $ABC$ has $\angle BAC = 60^\circ,$ $\angle CBA \le 90^\circ,$ $BC = 1,$ and $AC \ge AB.$ Let $H,$ $I,$ and $O$ be the orthocenter, incenter, and circumcenter of $\triangle ABC,$ respectively. Assume that the area of the pentagon $BCOIH$ is the maximum possible. What is $\angle CBA?$

$60^\circ$

$72^\circ$

$75^\circ$

$80^\circ$

$90^\circ$

Conceptos:circunferencia circunscrita, circuncentro y circunradio optimización trigonometría

Nivel de dificultad: 2840

Pista pequeña:

Como $\angle BAC = 60^\circ,$ los puntos $B, C, O, I, H$ están todos en un mismo círculo

Because $\angle BAC = 60^\circ,$ the points $B, C, O, I, H$ all lie on one circle

Pista grande:

En ese círculo, maximiza el cuadrilátero $BOIH$ haciendo iguales los tres subarcos consecutivos de $O$ a $B$

On that circle, maximize the quadrilateral $BOIH$ by making the three consecutive subarcs from $O$ to $B$ equal

Solución:

Escribamos $B=\angle CBA$ y $C=\angle BCA=120^\circ-B.$ Como $AC\ge AB,$ tenemos $B\ge C,$ así que $60^\circ\le B\le90^\circ.$ Las fórmulas angulares usuales dan $\begin{aligned} \angle BOC&=2\angle A=120^\circ, \\ \angle BHC&=180^\circ-\angle A=120^\circ, \\ \angle BIC&=90^\circ+\dfrac{\angle A}{2}=120^\circ. \end{aligned}$ Por tanto, $B,C,O,I,H$ están en un mismo círculo.

Además, $BC=1$ y $A=60^\circ$ fijan el circunradio $OB=OC=\frac{1}{\sqrt3},$ por lo que $\triangle BCO$ y el círculo que pasa por $B,C,O$ son fijos. Al perseguir ángulos en $C$ , obtenemos $\begin{aligned} \angle OCI&=30^\circ-\dfrac C2, \\ \angle ICH&=30^\circ-\dfrac C2. \end{aligned}$ Por tanto, las cuerdas correspondientes satisfacen $OI=IH.$

El área del pentágono es el área fija $[BCO]$ más $[BOIH].$ Para dos puntos que dividen un arco fijo $OB,$ un cuadrilátero inscrito tiene área máxima cuando sus tres subarcos consecutivos son iguales (equivalentemente, cuando se maximiza la suma de sus senos). Así, en el máximo, $OI=IH=HB.$

En $\triangle BOC,$ tenemos $\angle OCB=30^\circ.$ Las cuerdas iguales dan $\angle OCI=\angle ICH,$ y $\angle ICH=\angle HCB,$ y cada uno de estos ángulos mide $10^\circ.$ Por tanto, $30^\circ-\tfrac C2=10^\circ,$ de donde $C=40^\circ$ y $B=80^\circ.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Write $B=\angle CBA$ and $C=\angle BCA=120^\circ-B.$ Since $AC\ge AB,$ we have $B\ge C,$ so $60^\circ\le B\le90^\circ.$ The standard angle formulas give $\begin{aligned} \angle BOC&=2\angle A=120^\circ, \\ \angle BHC&=180^\circ-\angle A=120^\circ, \\ \angle BIC&=90^\circ+\dfrac{\angle A}{2}=120^\circ. \end{aligned}$ Hence $B,C,O,I,H$ lie on one circle.

Also $BC=1$ and $A=60^\circ$ fix the circumradius $OB=OC=\frac{1}{\sqrt3},$ so $\triangle BCO$ and the circle through $B,C,O$ are fixed. Angle chasing at $C$ gives $\begin{aligned} \angle OCI&=30^\circ-\dfrac C2, \\ \angle ICH&=30^\circ-\dfrac C2. \end{aligned}$ Thus the corresponding chords satisfy $OI=IH.$

The pentagon’s area is the fixed area $[BCO]$ plus $[BOIH].$ For two points dividing a fixed arc $OB,$ an inscribed quadrilateral has greatest area when its three consecutive subarcs are equal (equivalently, maximize the sum of their sines). Hence at the maximum $OI=IH=HB.$

In $\triangle BOC,$ $\angle OCB=30^\circ.$ Equal chords make $\angle OCI=\angle ICH,$ $\angle ICH=\angle HCB,$ and each of these angles is $10^\circ.$ Therefore $30^\circ-\tfrac C2=10^\circ,$ so $C=40^\circ$ and $B=80^\circ.$

Thus, the correct answer is D.