Question

Sea $m \ge 5$ un entero impar, y sea $D(m)$ el número de cuádruplas $(a_1, a_2, a_3, a_4)$ de enteros distintos con $1 \le a_i \le m$ para todo $i$ tal que $m$ divide a $a_1 + a_2 + a_3 + a_4.$ Existe un polinomio $q(x) = c_3x^3 + c_2x^2 + c_1x + c_0$ tal que $D(m) = q(m)$ para todos los enteros impares $m \ge 5.$ ¿Cuánto vale $c_1$ ?

Let $m \ge 5$ be an odd integer, and let $D(m)$ denote the number of quadruples $(a_1, a_2, a_3, a_4)$ of distinct integers with $1 \le a_i \le m$ for all $i$ such that $m$ divides $a_1 + a_2 + a_3 + a_4.$ There is a polynomial $q(x) = c_3x^3 + c_2x^2 + c_1x + c_0$ such that $D(m) = q(m)$ for all odd integers $m \ge 5.$ What is $c_1?$

$-6$

$-1$

$4$

$6$

$11$

Solución:

Contar cuádruplas ordenadas de residuos distintos con suma $\equiv 0 \pmod m$ (mediante un filtro de raíces de la unidad, usando que $m$ es impar) da $\begin{aligned} D(m) &= (m - 1) \\ &\quad {}\cdot (m - 2)(m - 3). \end{aligned}$ El cálculo directo confirma $D(5) = 24,$ $D(7) = 120,$ $D(9) = 336,$ que coinciden con este cúbico.

Expandiendo, $D(m) = m^3 - 6m^2 + 11m - 6,$ así que $c_1 = 11.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

Counting ordered quadruples of distinct residues with sum $\equiv 0 \pmod m$ (via a roots-of-unity filter, using that $m$ is odd) gives $\begin{aligned} D(m) &= (m - 1) \\ &\quad {}\cdot (m - 2)(m - 3). \end{aligned}$ Direct computation confirms $D(5) = 24,$ $D(7) = 120,$ $D(9) = 336,$ matching this cubic.

Expanding, $D(m) = m^3 - 6m^2 + 11m - 6,$ so $c_1 = 11.$

Thus, the correct answer is E.

2021 AMC 12A Fall Problema 25

Solución:

El Problema 25 en otros años