Question

Sea $m \ge 5$ un entero impar, y sea $D(m)$ el número de cuádruplas $(a_1, a_2, a_3, a_4)$ de enteros distintos con $1 \le a_i \le m$ para todo $i$ tal que $m$ divide a $a_1 + a_2 + a_3 + a_4.$ Existe un polinomio $q(x) = c_3x^3 + c_2x^2 + c_1x + c_0$ tal que $D(m) = q(m)$ para todos los enteros impares $m \ge 5.$ ¿Cuánto vale $c_1$ ?

Let $m \ge 5$ be an odd integer, and let $D(m)$ denote the number of quadruples $(a_1, a_2, a_3, a_4)$ of distinct integers with $1 \le a_i \le m$ for all $i$ such that $m$ divides $a_1 + a_2 + a_3 + a_4.$ There is a polynomial $q(x) = c_3x^3 + c_2x^2 + c_1x + c_0$ such that $D(m) = q(m)$ for all odd integers $m \ge 5.$ What is $c_1?$

$-6$

$-1$

$4$

$6$

$11$

Respuesta: E

Conceptos:aritmética modular raíces de la unidad polinomio

Nivel de dificultad: 2650

Pista pequeña:

Primero cuenta todas las cuádruplas ordenadas de residuos cuya suma sea $0\pmod m,$ y luego usa inclusión-exclusión sobre las coordenadas iguales

First count all ordered residue quadruples summing to $0\pmod m,$ then use inclusion-exclusion on equal coordinates

Pista grande:

Agrupa los patrones de coincidencia en un par, dos pares, una terna o los cuatro iguales; si $m$ es impar, multiplicar por $2$ o por $4$ es invertible

Group collision patterns as one pair, two pairs, a triple, or all four equal; odd $m$ makes multiplication by $2$ and $4$ invertible

Solución:

Consideremos $1,2,\ldots,m$ como el conjunto completo de residuos módulo $m.$ Sin la condición de que sean distintos, las tres primeras entradas son arbitrarias y la cuarta queda determinada, lo que da $m^3$ cuádruplas ordenadas.

La inclusión-exclusión sobre las particiones con coordenadas iguales da los términos restantes. Hay $6$ maneras de elegir un par igual, y cada una deja $m^2$ soluciones, lo que aporta $-6m^2.$ Las $3$ particiones en dos pares aportan $+3m.$ Las $4$ particiones en una terna y un elemento suelto tienen coeficiente de inclusión-exclusión $2$ y aportan $+8m.$ Por último, la partición con los cuatro iguales tiene coeficiente $-6$ y una sola solución. (Aquí, al ser $m$ impar, $2$ y $4$ son invertibles módulo $m.$ ) Por lo tanto $\begin{aligned} D(m)&=m^3-6m^2 \\ &\quad {}+11m-6 \\ &=(m-1)(m-2) \\ &\quad {}\cdot(m-3). \end{aligned}$ Así, $c_1=11.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

Regard $1,2,\ldots,m$ as all residues modulo $m.$ Without the distinctness condition, the first three entries are arbitrary and the fourth is determined, giving $m^3$ ordered quadruples.

Inclusion-exclusion over equal-coordinate partitions gives the remaining terms. There are $6$ choices of one equal pair, each leaving $m^2$ solutions, for $-6m^2.$ The $3$ two-pair partitions contribute $+3m.$ The $4$ triple-and-single partitions have inclusion-exclusion coefficient $2$ and contribute $+8m.$ Finally, the all-equal partition has coefficient $-6$ and one solution. (Here odd $m$ makes $2$ and $4$ invertible modulo $m.$ ) Therefore $\begin{aligned} D(m)&=m^3-6m^2 \\ &\quad {}+11m-6 \\ &=(m-1)(m-2) \\ &\quad {}\cdot(m-3). \end{aligned}$ Hence $c_1=11.$

Thus, the correct answer is E.

2021 AMC 12A Fall Problema 25

Respuesta: E

Nivel de dificultad: 2650

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 25 en otros años