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2008 AMC 12A Problema 25

Intenta el Problema 25 del 2008 AMC 12A a continuación y luego compara tu respuesta con la solución preparada profesionalmente de LIVE by Po-Shen Loh. También puedes intentar el examen cronometrado completo, ver todas las soluciones del 2008 AMC 12A, o revisar la clave de respuestas.

Todos los problemas se usan con el permiso legal oficial de la Mathematical Association of America (MAA).

25.

Una sucesión (a1,b1),(a_1, b_1), (a2,b2),(a_2, b_2), (a3,b3),(a_3, b_3), …\ldots de puntos en el plano coordenado satisface (an+1,bn+1)=(3 an−bn,  3 bn+an)(n=1,2,3,…) \begin{aligned} &(a_{n+1}, b_{n+1}) \\ &= \left(\sqrt{3}\,a_n - b_n,\; \sqrt{3}\,b_n + a_n\right) \\ &\quad (n = 1, 2, 3, \ldots) \end{aligned} Supongamos que (a100,b100)=(2,4).(a_{100}, b_{100}) = (2, 4). ¿Cuánto vale a1+b1a_1 + b_1?
A sequence (a1,b1),(a_1, b_1), (a2,b2),(a_2, b_2), (a3,b3),(a_3, b_3), …\ldots of points in the coordinate plane satisfies (an+1,bn+1)=(3 an−bn,  3 bn+an)(n=1,2,3,…) \begin{aligned} &(a_{n+1}, b_{n+1}) \\ &= \left(\sqrt{3}\,a_n - b_n,\; \sqrt{3}\,b_n + a_n\right) \\ &\quad (n = 1, 2, 3, \ldots) \end{aligned} Suppose that (a100,b100)=(2,4).(a_{100}, b_{100}) = (2, 4). What is a1+b1?a_1 + b_1?
−1297-\dfrac{1}{2^{97}}
−1299-\dfrac{1}{2^{99}}
00
1298\dfrac{1}{2^{98}}
1296\dfrac{1}{2^{96}}
Respuesta: D
Conceptos:número complejoTeorema de De Moivre
Nivel de dificultad: 2440
Pista pequeña:
Escribe zn=an+bni;z_n = a_n + b_n i; la recurrencia se convierte en zn+1=zn(3+i)z_{n+1} = z_n(\sqrt{3} + i).
Write zn=an+bni;z_n = a_n + b_n i; the recurrence becomes zn+1=zn(3+i)z_{n+1} = z_n(\sqrt{3} + i)
Pista grande:
Como 3+i=2(cos⁡30∘+isin⁡30∘),\sqrt{3} + i = 2(\cos 30^\circ + i\sin 30^\circ), aplica el teorema de De Moivre a (3+i)99(\sqrt{3} + i)^{99}.
Since 3+i=2(cos⁡30∘+isin⁡30∘),\sqrt{3} + i = 2(\cos 30^\circ + i\sin 30^\circ), apply De Moivre’s theorem to (3+i)99(\sqrt{3} + i)^{99}
Solución:
Sea zn=an+bni.z_n = a_n + b_n i. Entonces zn+1=(3 an−bn)+(3 bn+an)i=(an+bni)(3+i), \begin{aligned} z_{n+1} &= (\sqrt{3}\,a_n - b_n) \\ &\quad {}+ (\sqrt{3}\,b_n + a_n)i \\ &= (a_n + b_n i)(\sqrt{3} + i), \end{aligned} así que zn+1=zn(3+i)z_{n+1} = z_n(\sqrt{3} + i) y z100=z1(3+i)99.z_{100} = z_1(\sqrt{3} + i)^{99}.
Como 3+i=2(cos⁡30∘+isin⁡30∘),\sqrt{3} + i = 2(\cos 30^\circ + i\sin 30^\circ), el teorema de De Moivre da (3+i)99(\sqrt{3} + i)^{99} =299(cos⁡2970∘+isin⁡2970∘).= 2^{99}(\cos 2970^\circ + i\sin 2970^\circ). Como 2970∘2970^\circ es coterminal con 90∘,90^\circ, esto es igual a 299i.2^{99} i.
Así 2+4i=z1⋅299i,2 + 4i = z_1 \cdot 2^{99} i, de modo que z1=2+4i299i=4−2i299. z_1 = \dfrac{2 + 4i}{2^{99} i} = \dfrac{4 - 2i}{2^{99}}.
Entonces a1=4299a_1 = \tfrac{4}{2^{99}} y b1=−2299,b_1 = -\tfrac{2}{2^{99}}, así que a1+b1=2299=1298. a_1 + b_1 = \dfrac{2}{2^{99}} = \dfrac{1}{2^{98}}.
Por lo tanto, D es la respuesta correcta.
Let zn=an+bni.z_n = a_n + b_n i. Then zn+1=(3 an−bn)+(3 bn+an)i=(an+bni)(3+i), \begin{aligned} z_{n+1} &= (\sqrt{3}\,a_n - b_n) \\ &\quad {}+ (\sqrt{3}\,b_n + a_n)i \\ &= (a_n + b_n i)(\sqrt{3} + i), \end{aligned} so zn+1=zn(3+i)z_{n+1} = z_n(\sqrt{3} + i) and z100=z1(3+i)99.z_{100} = z_1(\sqrt{3} + i)^{99}.
Since 3+i=2(cos⁡30∘+isin⁡30∘),\sqrt{3} + i = 2(\cos 30^\circ + i\sin 30^\circ), De Moivre’s theorem gives (3+i)99(\sqrt{3} + i)^{99} =299(cos⁡2970∘+isin⁡2970∘).= 2^{99}(\cos 2970^\circ + i\sin 2970^\circ). As 2970∘2970^\circ is coterminal with 90∘,90^\circ, this equals 299i.2^{99} i.
Thus 2+4i=z1⋅299i,2 + 4i = z_1 \cdot 2^{99} i, so z1=2+4i299i=4−2i299. z_1 = \dfrac{2 + 4i}{2^{99} i} = \dfrac{4 - 2i}{2^{99}}.
Then a1=4299a_1 = \tfrac{4}{2^{99}} and b1=−2299,b_1 = -\tfrac{2}{2^{99}}, so a1+b1=2299=1298. a_1 + b_1 = \dfrac{2}{2^{99}} = \dfrac{1}{2^{98}}.
Thus, D is the correct answer.
Problema 24#24
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