2000 AMC 12 Problema 25
Intenta el Problema 25 del 2000 AMC 12 a continuación y luego compara tu respuesta con la solución preparada profesionalmente de LIVE by Po-Shen Loh. También puedes intentar el examen cronometrado completo, ver todas las soluciones del 2000 AMC 12, o revisar la clave de respuestas.
Todos los problemas se usan con el permiso legal oficial de la Mathematical Association of America (MAA).
25.
Ocho triángulos equiláteros congruentes, cada uno de un color diferente, se usan para construir un octaedro regular. ¿De cuántas maneras distinguibles se puede construir el octaedro? (Dos octaedros coloreados son distinguibles si ninguno se puede rotar para verse exactamente igual que el otro.)
Eight congruent equilateral triangles, each of a different color, are used to construct a regular octahedron. How many distinguishable ways are there to construct the octahedron? (Two colored octahedrons are distinguishable if neither can be rotated to look just like the other.)
Respuesta: E
Pista pequeña:
Hay maneras de colocar los ocho colores distintos antes de tener en cuenta las rotaciones.
There are ways to place the eight distinct colors before accounting for rotations
Pista grande:
El grupo de rotaciones del octaedro tiene elementos, y los colores distintos hacen que cada disposición tenga un estabilizador trivial.
The rotation group of the octahedron has elements, and distinct colors give each arrangement a trivial stabilizer
Solución:
Hay maneras de asignar los ocho colores distintos a las ocho caras. Dos asignaciones dan el mismo octaedro exactamente cuando una es una rotación de la otra.
El grupo de rotaciones de un octaedro regular tiene elementos. Como los ocho colores son diferentes, ninguna rotación no trivial fija una coloración, así que cada octaedro distinguible corresponde a exactamente asignaciones.
Por lo tanto, el número de octaedros distinguibles es
Por lo tanto, la respuesta correcta es E.
There are ways to assign the eight distinct colors to the eight faces. Two assignments give the same octahedron exactly when one is a rotation of the other.
The rotation group of a regular octahedron has elements. Because all eight colors are different, no nontrivial rotation fixes a coloring, so each distinguishable octahedron corresponds to exactly assignments.
Therefore the number of distinguishable octahedrons is
Thus, the correct answer is E.
El Problema 25 en otros años
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