Question

Ocho triángulos equiláteros congruentes, cada uno de un color diferente, se usan para construir un octaedro regular. ¿De cuántas maneras distinguibles se puede construir el octaedro? (Dos octaedros coloreados son distinguibles si ninguno se puede rotar para verse exactamente igual que el otro.)

Eight congruent equilateral triangles, each of a different color, are used to construct a regular octahedron. How many distinguishable ways are there to construct the octahedron? (Two colored octahedrons are distinguishable if neither can be rotated to look just like the other.)

$210$

$560$

$840$

$1260$

$1680$

Solución:

Hay $8!$ maneras de asignar los ocho colores distintos a las ocho caras. Dos asignaciones dan el mismo octaedro exactamente cuando una es una rotación de la otra.

El grupo de rotaciones de un octaedro regular tiene $24$ elementos. Como los ocho colores son diferentes, ninguna rotación no trivial fija una coloración, así que cada octaedro distinguible corresponde a exactamente $24$ asignaciones.

Por lo tanto, el número de octaedros distinguibles es $\frac{8!}{24} = \frac{40320}{24} = 1680.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

There are $8!$ ways to assign the eight distinct colors to the eight faces. Two assignments give the same octahedron exactly when one is a rotation of the other.

The rotation group of a regular octahedron has $24$ elements. Because all eight colors are different, no nontrivial rotation fixes a coloring, so each distinguishable octahedron corresponds to exactly $24$ assignments.

Therefore the number of distinguishable octahedrons is $\frac{8!}{24} = \frac{40320}{24} = 1680.$

Thus, the correct answer is E.

2000 AMC 12 Problema 25

Solución:

El Problema 25 en otros años