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2019 AMC 12B Problema 25

Intenta el Problema 25 del 2019 AMC 12B a continuación y luego compara tu respuesta con la solución preparada profesionalmente de LIVE by Po-Shen Loh. También puedes intentar el examen cronometrado completo, ver todas las soluciones del 2019 AMC 12B, o revisar la clave de respuestas.

Todos los problemas se usan con el permiso legal oficial de la Mathematical Association of America (MAA).

25.

Sea ABCDABCD un cuadrilátero convexo con BC=2BC=2 y CD=6.CD=6. Supón que los baricentros de △ABC,\triangle ABC, △BCD,\triangle BCD, y △ACD\triangle ACD forman los vértices de un triángulo equilátero. ¿Cuál es el máximo valor posible del área de ABCDABCD?

Let ABCDABCD be a convex quadrilateral with BC=2BC=2 and CD=6.CD=6. Suppose that the centroids of △ABC,\triangle ABC, △BCD,\triangle BCD, and △ACD\triangle ACD form the vertices of an equilateral triangle. What is the maximum possible value of the area of ABCD?ABCD?

2727

16316\sqrt3

12+10312+10\sqrt3

9+1239+12\sqrt3

3030

Respuesta: C
Conceptos:baricentrotriángulo equiláteroley de los cosenosoptimización
Nivel de dificultad: 2480
Pista pequeña:

Las diferencias de los tres baricentros son B−D3, B−A3, A−D3\dfrac{B-D}{3},\ \dfrac{B-A}{3},\ \dfrac{A-D}{3}

The differences of the three centroids are B−D3, B−A3, A−D3\dfrac{B-D}{3},\ \dfrac{B-A}{3},\ \dfrac{A-D}{3}

Pista grande:

Así △ABD\triangle ABD es equilátero de lado BD;BD; escribe el área usando ∠BCD\angle BCD y maximiza

So △ABD\triangle ABD is equilateral with side BD;BD; write the area using ∠BCD\angle BCD and maximize

Solución:

Los centroides son A+B+C3,\dfrac{A+B+C}{3},  B+C+D3,\ \dfrac{B+C+D}{3},  A+C+D3.\ \dfrac{A+C+D}{3}. Sus diferencias por pares son A−D3, B−A3, B−D3,\dfrac{A-D}{3},\ \dfrac{B-A}{3},\ \dfrac{B-D}{3}, de modo que un triángulo equilátero de centroides obliga a AB=BD=DA;AB=BD=DA; es decir, △ABD\triangle ABD es equilátero de lado s=BD.s=BD.

Al dividir por BD,BD, [ABCD]=[ABD]+[BCD]=34s2+12⋅2⋅6sin⁡C, \begin{gathered} [ABCD]=[ABD]+[BCD] \\ =\dfrac{\sqrt3}{4}s^2 \\ {}+\dfrac12\cdot2\cdot6\sin C, \end{gathered} donde C=∠BCD.C=\angle BCD. Por la ley de cosenos, s2=40−24cos⁡C,s^2=40-24\cos C, así que [ABCD]=103−63cos⁡C+6sin⁡C. \begin{gathered} [ABCD]=10\sqrt3 \\ {}-6\sqrt3\cos C+6\sin C. \end{gathered}

La expresión 6sin⁡C−63cos⁡C6\sin C-6\sqrt3\cos C tiene máximo 62+(63)2=12,\sqrt{6^2+(6\sqrt3)^2}=12, así que el área máxima es 103+12=12+103.10\sqrt3+12=12+10\sqrt3. La igualdad ocurre en C=150∘;C=150^\circ; construir △BCD\triangle BCD con ese ángulo y colocar el equilátero △ABD\triangle ABD al otro lado de BD‾\overline{BD} produce un cuadrilátero convexo, por lo que el máximo es alcanzable.

Así, C es la respuesta correcta.

The centroids are A+B+C3,\dfrac{A+B+C}{3},  B+C+D3,\ \dfrac{B+C+D}{3},  A+C+D3.\ \dfrac{A+C+D}{3}. Their pairwise differences are A−D3, B−A3, B−D3,\dfrac{A-D}{3},\ \dfrac{B-A}{3},\ \dfrac{B-D}{3}, so an equilateral centroid triangle forces AB=BD=DA;AB=BD=DA; that is, △ABD\triangle ABD is equilateral with side s=BD.s=BD.

Splitting along BD,BD, [ABCD]=[ABD]+[BCD]=34s2+12⋅2⋅6sin⁡C, \begin{gathered} [ABCD]=[ABD]+[BCD] \\ =\dfrac{\sqrt3}{4}s^2 \\ {}+\dfrac12\cdot2\cdot6\sin C, \end{gathered} where C=∠BCD.C=\angle BCD. By the Law of Cosines s2=40−24cos⁡C,s^2=40-24\cos C, so [ABCD]=103−63cos⁡C+6sin⁡C. \begin{gathered} [ABCD]=10\sqrt3 \\ {}-6\sqrt3\cos C+6\sin C. \end{gathered}

The expression 6sin⁡C−63cos⁡C6\sin C-6\sqrt3\cos C has maximum 62+(63)2=12,\sqrt{6^2+(6\sqrt3)^2}=12, so the greatest area is 103+12=12+103.10\sqrt3+12=12+10\sqrt3. Equality occurs at C=150∘;C=150^\circ; constructing △BCD\triangle BCD with that angle and placing equilateral △ABD\triangle ABD on the opposite side of BD‾\overline{BD} produces a convex quadrilateral, so the maximum is attainable.

Thus, C is the correct answer.

Problema 24#24
Examen completo

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