Question

Sea $ABCD$ un cuadrilátero convexo con $BC=2$ y $CD=6.$ Supón que los baricentros de $\triangle ABC,$ $\triangle BCD,$ y $\triangle ACD$ forman los vértices de un triángulo equilátero. ¿Cuál es el máximo valor posible del área de $ABCD$ ?

Let $ABCD$ be a convex quadrilateral with $BC=2$ and $CD=6.$ Suppose that the centroids of $\triangle ABC,$ $\triangle BCD,$ and $\triangle ACD$ form the vertices of an equilateral triangle. What is the maximum possible value of the area of $ABCD?$

$27$

$16\sqrt3$

$12+10\sqrt3$

$9+12\sqrt3$

$30$

Solución:

Los baricentros son $\dfrac{A+B+C}{3},$ $\ \dfrac{B+C+D}{3},$ $\ \dfrac{A+C+D}{3}.$ Sus diferencias por pares son $\dfrac{A-D}{3},\ \dfrac{B-A}{3},\ \dfrac{B-D}{3},$ así que un triángulo de baricentros equilátero obliga a $AB=BD=DA;$ es decir, $\triangle ABD$ es equilátero de lado $s=BD.$

Dividiendo a lo largo de $BD,$ $\begin{gathered} [ABCD]=[ABD]+[BCD] \\ =\dfrac{\sqrt3}{4}s^2 \\ {}+\dfrac12\cdot2\cdot6\sin C, \end{gathered}$ donde $C=\angle BCD.$ Por la ley de cosenos $s^2=40-24\cos C,$ así que $\begin{gathered} [ABCD]=10\sqrt3 \\ {}-6\sqrt3\cos C+6\sin C. \end{gathered}$

La expresión $6\sin C-6\sqrt3\cos C$ tiene máximo $\sqrt{6^2+(6\sqrt3)^2}=12,$ así que el área máxima es $10\sqrt3+12=12+10\sqrt3.$

Por lo tanto, C es la respuesta correcta.

The centroids are $\dfrac{A+B+C}{3},$ $\ \dfrac{B+C+D}{3},$ $\ \dfrac{A+C+D}{3}.$ Their pairwise differences are $\dfrac{A-D}{3},\ \dfrac{B-A}{3},\ \dfrac{B-D}{3},$ so an equilateral centroid triangle forces $AB=BD=DA;$ that is, $\triangle ABD$ is equilateral with side $s=BD.$

Splitting along $BD,$ $\begin{gathered} [ABCD]=[ABD]+[BCD] \\ =\dfrac{\sqrt3}{4}s^2 \\ {}+\dfrac12\cdot2\cdot6\sin C, \end{gathered}$ where $C=\angle BCD.$ By the Law of Cosines $s^2=40-24\cos C,$ so $\begin{gathered} [ABCD]=10\sqrt3 \\ {}-6\sqrt3\cos C+6\sin C. \end{gathered}$

The expression $6\sin C-6\sqrt3\cos C$ has maximum $\sqrt{6^2+(6\sqrt3)^2}=12,$ so the greatest area is $10\sqrt3+12=12+10\sqrt3.$

Thus, C is the correct answer.

2019 AMC 12B Problema 25

Solución:

El Problema 25 en otros años