Question

Sea $S = \{(x, y) : x \in \{0, 1, 2, 3, 4\},$ $y \in \{0, 1, 2, 3, 4, 5\},$ y $(x, y) \ne (0, 0)\}.$ Sea $T$ el conjunto de todos los triángulos rectángulos cuyos vértices están en $S.$ Para cada triángulo rectángulo $t = \triangle ABC$ con vértices $A,$ $B,$ y $C$ en orden antihorario y ángulo recto en $A,$ sea $f(t) = \tan(\angle CBA).$ ¿Cuánto vale $\prod_{t \in T} f(t)?$

Let $S = \{(x, y) : x \in \{0, 1, 2, 3, 4\},$ $y \in \{0, 1, 2, 3, 4, 5\},$ and $(x, y) \ne (0, 0)\}.$ Let $T$ be the set of all right triangles whose vertices are in $S.$ For every right triangle $t = \triangle ABC$ with vertices $A,$ $B,$ and $C$ in counter-clockwise order and right angle at $A,$ let $f(t) = \tan(\angle CBA).$ What is $\prod_{t \in T} f(t)?$

$1$

$\dfrac{625}{144}$

$\dfrac{125}{24}$

$6$

$\dfrac{625}{24}$

Respuesta: B

Conceptos:trigonometría telescópica simetría

Nivel de dificultad: 2650

Pista pequeña:

Emparejar un triángulo con su reflexión intercambia $\tan(\angle CBA)$ con $\tan(\angle ACB),$ cuyo producto es $1$

Pairing a triangle with its reflection swaps $\tan(\angle CBA)$ with $\tan(\angle ACB),$ whose product is $1$

Pista grande:

Las reflexiones reducen todo el producto a un puñado de triángulos que pasan por el origen, y solo seis sobreviven

Reflections collapse the whole product down to a handful of triangles through the origin, and only six survive

Solución:

Los triángulos rectángulos isósceles contribuyen $f(t)=1.$ Para un triángulo rectángulo escaleno, reflejarlo respecto de una recta adecuada lo empareja con un triángulo $t_1$ de modo que $f(t)f(t_1)$ $=\tan(\angle CBA)\tan(\angle ACB)$ $=1.$

Reflexiones sucesivas (respecto de $x=2,$ luego $x=y,$ luego $y=\tfrac52$ ) reducen el producto al recíproco del producto sobre solo seis triángulos de la forma $OYZ$ con $Y$ en la fila superior.

Esos seis dan $\begin{aligned} &\frac15\cdot\frac25\cdot\frac35\cdot\frac45\cdot\frac{3\sqrt2}{\sqrt2} \\ &\quad {}\cdot\frac{4\sqrt2}{2\sqrt2}=\frac{144}{625}, \end{aligned}$ así que el producto pedido es su recíproco, $\dfrac{625}{144}.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Isosceles right triangles contribute $f(t)=1.$ For a scalene right triangle, reflecting across a suitable line pairs it with a triangle $t_1$ so that $f(t)f(t_1)$ $=\tan(\angle CBA)\tan(\angle ACB)$ $=1.$

Successive reflections (across $x=2,$ then $x=y,$ then $y=\tfrac52$ ) reduce the product to the reciprocal of the product over just six triangles of the form $OYZ$ with $Y$ on the top row.

Those six give $\begin{aligned} &\frac15\cdot\frac25\cdot\frac35\cdot\frac45\cdot\frac{3\sqrt2}{\sqrt2} \\ &\quad {}\cdot\frac{4\sqrt2}{2\sqrt2}=\frac{144}{625}, \end{aligned}$ so the required product is its reciprocal, $\dfrac{625}{144}.$

Thus, the correct answer is B.

2012 AMC 12B Problema 25

Respuesta: B

Nivel de dificultad: 2650

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 25 en otros años