2012 AMC 12B — Problemas y examen en línea cronometrado

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1:15:00

1.

Cada aula de tercer grado de la escuela primaria Pearl Creek tiene $18$ estudiantes y $2$ conejos de mascota. ¿Cuántos estudiantes más que conejos hay en total en las $4$ aulas de tercer grado?

Each third-grade classroom at Pearl Creek Elementary has $18$ students and $2$ pet rabbits. How many more students than rabbits are there in all $4$ of the third-grade classrooms?

$48$

$56$

$64$

$72$

$80$

Respuesta: C

Conceptos:operaciones con números enteros

Nivel de dificultad: 560

Solución:

Cada aula tiene $18-2=16$ estudiantes más que conejos.

En las $4$ aulas hay $4\cdot16=64$ estudiantes más que conejos.

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Each classroom has $18-2=16$ more students than rabbits.

Across all $4$ classrooms there are $4\cdot16=64$ more students than rabbits.

Thus, the correct answer is C.

2.

Un círculo de radio $5$ está inscrito en un rectángulo como se muestra. La razón entre el largo del rectángulo y su ancho es $2:1.$ ¿Cuál es el área del rectángulo?

A circle of radius $5$ is inscribed in a rectangle as shown. The ratio of the length of the rectangle to its width is $2:1.$ What is the area of the rectangle?

$50$

$100$

$125$

$150$

$200$

Respuesta: E

Conceptos:círculo rectángulo

Nivel de dificultad: 730

Solución:

El círculo está inscrito, así que el ancho del rectángulo es igual al diámetro, $2\cdot5=10.$

El largo es entonces $2\cdot10=20,$ de modo que el área es $10\cdot20=200.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

The circle is inscribed, so the width of the rectangle equals the diameter, $2\cdot5=10.$

The length is then $2\cdot10=20,$ so the area is $10\cdot20=200.$

Thus, the correct answer is E.

3.

Para un proyecto de ciencias, Sammy observó a una ardilla listada y a una ardilla guardando bellotas en agujeros. La ardilla listada escondió $3$ bellotas en cada uno de los agujeros que cavó. La ardilla escondió $4$ bellotas en cada uno de los agujeros que cavó. Cada una escondió la misma cantidad de bellotas, aunque la ardilla necesitó $4$ agujeros menos. ¿Cuántas bellotas escondió la ardilla listada?

For a science project, Sammy observed a chipmunk and a squirrel stashing acorns in holes. The chipmunk hid $3$ acorns in each of the holes it dug. The squirrel hid $4$ acorns in each of the holes it dug. They each hid the same number of acorns, although the squirrel needed $4$ fewer holes. How many acorns did the chipmunk hide?

$30$

$36$

$42$

$48$

$54$

Respuesta: D

Conceptos:ecuación lineal

Nivel de dificultad: 860

Solución:

Sea $h$ el número de agujeros que cavó la ardilla listada. La ardilla listada escondió $3h$ bellotas y la ardilla escondió $4(h-4)$ bellotas.

Como escondieron la misma cantidad, $3h=4(h-4),$ lo que da $h=16.$

La ardilla listada escondió $3\cdot16=48$ bellotas.

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Let $h$ be the number of holes the chipmunk dug. The chipmunk hid $3h$ acorns and the squirrel hid $4(h-4)$ acorns.

Since they hid the same number, $3h=4(h-4),$ which gives $h=16.$

The chipmunk hid $3\cdot16=48$ acorns.

Thus, the correct answer is D.

4.

Supón que el euro vale $1.30$ dólares. Si Diana tiene $500$ dólares y Étienne tiene $400$ euros, ¿en qué porcentaje es el valor del dinero de Étienne mayor que el valor del dinero de Diana?

Suppose that the euro is worth $1.30$ dollars. If Diana has $500$ dollars and Étienne has $400$ euros, by what percent is the value of Étienne's money greater than the value of Diana's money?

$2$

$4$

$6.5$

$8$

$13$

Respuesta: B

Conceptos:porcentaje conversión de unidades

Nivel de dificultad: 1050

Solución:

El dinero de Étienne vale $400\cdot1.30=520$ dólares, mientras que Diana tiene $500$ dólares.

El porcentaje en que el valor de Étienne supera al de Diana es $\frac{520-500}{500}\cdot100\%=4\%.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Étienne's money is worth $400\cdot1.30=520$ dollars, while Diana has $500$ dollars.

The percent by which Étienne's value exceeds Diana's is $\frac{520-500}{500}\cdot100\%=4\%.$

Thus, the correct answer is B.

5.

Dos enteros tienen suma $26.$ Cuando se agregan dos enteros más a los dos primeros, la suma es $41.$ Finalmente, cuando se agregan dos enteros más a la suma de los cuatro enteros anteriores, la suma es $57.$ ¿Cuál es el número mínimo de enteros pares entre los $6$ enteros?

Two integers have a sum of $26.$ When two more integers are added to the first two integers the sum is $41.$ Finally when two more integers are added to the sum of the previous four integers the sum is $57.$ What is the minimum number of even integers among the $6$ integers?

$1$

$2$

$3$

$4$

$5$

Respuesta: A

Conceptos:paridad

Nivel de dificultad: 1200

Solución:

Los tres pares sucesivos tienen sumas $26,$ $41-26=15,$ y $57-41=16.$

Un par suma un número par cuando sus dos enteros tienen la misma paridad, y un número impar cuando exactamente uno es par. Solo el par central suma un número impar, así que debe contener al menos un entero par.

Los otros dos pares pueden ser todos impares, así que es posible tener tan solo $1$ entero par, por ejemplo $1,25,1,14,1,15.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

The three successive pairs have sums $26,$ $41-26=15,$ and $57-41=16.$

A pair sums to an even number when its two integers share parity, and to an odd number when exactly one is even. Only the middle pair sums to an odd number, so it must contain at least one even integer.

The other two pairs can be all odd, so as few as $1$ even integer is possible, for example $1,25,1,14,1,15.$

Thus, the correct answer is A.

6.

Para estimar el valor de $x-y$ donde $x$ y $y$ son números reales con $x \gt y \gt 0,$ Xiaoli redondeó $x$ hacia arriba una pequeña cantidad, redondeó $y$ hacia abajo la misma cantidad, y luego restó sus valores redondeados. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es necesariamente correcta?

In order to estimate the value of $x-y$ where $x$ and $y$ are real numbers with $x \gt y \gt 0,$ Xiaoli rounded $x$ up by a small amount, rounded $y$ down by the same amount, and then subtracted her rounded values. Which of the following statements is necessarily correct?

Su estimación es mayor que $x-y.$

Her estimate is larger than $x-y.$

Su estimación es menor que $x-y.$

Her estimate is smaller than $x-y.$

Su estimación es igual a $x-y.$

Her estimate equals $x-y.$

Su estimación es igual a $y-x.$

Her estimate equals $y-x.$

Su estimación es $0.$

Her estimate is $0.$

Respuesta: A

Conceptos:estimación desigualdad

Nivel de dificultad: 1130

Solución:

Sea $d \gt 0$ la pequeña cantidad. Xiaoli calcula $(x+d)-(y-d)$ $=(x-y)+2d.$

Como $2d \gt 0,$ su estimación supera el valor verdadero $x-y.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

Let $d \gt 0$ be the small amount. Xiaoli computes $(x+d)-(y-d)$ $=(x-y)+2d.$

Since $2d \gt 0,$ her estimate exceeds the true value $x-y.$

Thus, the correct answer is A.

7.

Se cuelgan lucecitas en una cuerda separadas $6$ pulgadas en el orden rojo, rojo, verde, verde, verde, rojo, rojo, verde, verde, verde, y así sucesivamente continuando este patrón de $2$ luces rojas seguidas de $3$ luces verdes. ¿Cuántos pies separan la $3$ ª luz roja de la $21$ ª luz roja?

Nota: $1$ pie es igual a $12$ pulgadas.

Small lights are hung on a string $6$ inches apart in the order red, red, green, green, green, red, red, green, green, green, and so on continuing this pattern of $2$ red lights followed by $3$ green lights. How many feet separate the $3$ rd red light and the $21$ st red light?

Note: $1$ foot is equal to $12$ inches.

$18$

$18.5$

$20$

$20.5$

$22.5$

Respuesta: E

Conceptos:reconocimiento de patrones conversión de unidades

Nivel de dificultad: 1270

Solución:

Las luces se repiten en bloques de $5,$ así que bloques consecutivos empiezan a $5\cdot6=30$ pulgadas, o $2.5$ pies, de distancia.

Cada bloque comienza con una luz roja de número impar. La $3$ ª luz roja comienza el $2$ º bloque y la $21$ ª luz roja comienza el $11$ º bloque.

La distancia entre ellas es $(11-2)\cdot2.5=22.5$ pies.

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

The lights repeat in blocks of $5,$ so consecutive blocks start $5\cdot6=30$ inches, or $2.5$ feet, apart.

Each block has one odd-numbered red light beginning it. The $3$ rd red light begins the $2$ nd block and the $21$ st red light begins the $11$ th block.

The distance between them is $(11-2)\cdot2.5=22.5$ feet.

Thus, the correct answer is E.

8.

Un chef de postres prepara el postre para cada día de una semana que comienza el domingo. El postre de cada día es pastel, tarta, helado o pudín. El mismo postre no puede servirse dos días seguidos. Debe haber pastel el viernes por un cumpleaños. ¿Cuántos menús de postres diferentes son posibles para la semana?

A dessert chef prepares the dessert for every day of a week starting with Sunday. The dessert each day is either cake, pie, ice cream, or pudding. The same dessert may not be served two days in a row. There must be cake on Friday because of a birthday. How many different dessert menus for the week are possible?

$729$

$972$

$1024$

$2187$

$2304$

Respuesta: A

Conceptos:principio de multiplicación arreglos con restricciones

Nivel de dificultad: 1380

Solución:

El viernes está fijado como pastel. Trabaja hacia afuera desde el viernes.

Cada uno de los otros seis días (sábado, luego jueves, miércoles, martes, lunes, domingo) puede ser cualquier postre excepto el servido el día vecino ya elegido, lo que da $3$ opciones cada uno.

El número de menús es $3^6=729.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

Friday is fixed as cake. Work outward from Friday.

Each of the other six days (Saturday, then Thursday, Wednesday, Tuesday, Monday, Sunday) can be any dessert except the one served on the neighboring already-chosen day, giving $3$ choices each.

The number of menus is $3^6=729.$

Thus, the correct answer is A.

9.

Clea tarda $60$ segundos en bajar caminando por una escalera mecánica cuando no está funcionando, y solo $24$ segundos en bajar caminando cuando sí está funcionando. ¿Cuántos segundos tarda Clea en bajar en la escalera mecánica en funcionamiento cuando solo se queda parada sobre ella?

It takes Clea $60$ seconds to walk down an escalator when it is not operating, and only $24$ seconds to walk down the escalator when it is operating. How many seconds does it take Clea to ride down the operating escalator when she just stands on it?

$36$

$40$

$42$

$48$

$52$

Respuesta: B

Conceptos:tasa sistema de ecuaciones

Nivel de dificultad: 1440

Solución:

Sea $x$ la velocidad de caminata de Clea y $r$ la velocidad de la escalera, con la longitud igual a $60x.$ Caminar sobre la escalera en movimiento da $24(x+r)=60x,$ así que $r=\tfrac32x.$

Quedarse parada toma un tiempo $t$ con $rt=60x,$ así que $\tfrac32xt=60x$ y $t=40$ segundos.

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Let $x$ be Clea's walking rate and $r$ the escalator's rate, with the length equal to $60x.$ Walking on the moving escalator gives $24(x+r)=60x,$ so $r=\tfrac32x.$

Standing takes time $t$ with $rt=60x,$ so $\tfrac32xt=60x$ and $t=40$ seconds.

Thus, the correct answer is B.

10.

¿Cuál es el área del polígono cuyos vértices son los puntos de intersección de las curvas $x^2 + y^2 = 25$ y $(x - 4)^2 + 9y^2 = 81$ ?

What is the area of the polygon whose vertices are the points of intersection of the curves $x^2 + y^2 = 25$ and $(x - 4)^2 + 9y^2 = 81?$

$24$

$27$

$36$

$37.5$

$42$

Respuesta: B

Conceptos:sistema de ecuaciones sustitución área del triángulo

Nivel de dificultad: 1500

Solución:

De $x^2+y^2=25$ obtenemos $y^2=25-x^2.$ Sustituyendo en $(x-4)^2+9y^2=81$ da $x^2+x-20=0,$ así que $x=4$ o $x=-5.$

Los puntos de intersección son $(-5,0),$ $(4,3),$ y $(4,-3).$

El lado vertical de $(4,3)$ a $(4,-3)$ tiene longitud $6,$ y la distancia horizontal a $(-5,0)$ es $9,$ de modo que el área es $\tfrac12\cdot6\cdot9=27.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

From $x^2+y^2=25$ we get $y^2=25-x^2.$ Substituting into $(x-4)^2+9y^2=81$ gives $x^2+x-20=0,$ so $x=4$ or $x=-5.$

The intersection points are $(-5,0),$ $(4,3),$ and $(4,-3).$

The vertical side from $(4,3)$ to $(4,-3)$ has length $6,$ and the horizontal distance to $(-5,0)$ is $9,$ so the area is $\tfrac12\cdot6\cdot9=27.$

Thus, the correct answer is B.

11.

En la ecuación de abajo, $A$ y $B$ son enteros positivos consecutivos, y $A,$ $B,$ y $A + B$ representan bases numéricas: $132_A + 43_B = 69_{A+B}.$ ¿Cuánto vale $A + B$ ?

In the equation below, $A$ and $B$ are consecutive positive integers, and $A,$ $B,$ and $A + B$ represent number bases: $132_A + 43_B = 69_{A+B}.$ What is $A + B?$

$9$

$11$

$13$

$15$

$17$

Respuesta: C

Conceptos:base numérica cuadrática

Nivel de dificultad: 1560

Solución:

Escribiendo los numerales, $132_A=A^2+3A+2,$ $43_B=4B+3,$ y $69_{A+B}=6(A+B)+9.$

Con $B=A+1,$ la ecuación se convierte en $A^2+3A+2$ $+4(A+1)+3$ $=6(2A+1)+9,$ que se simplifica a $(A-6)(A+1)=0.$ La solución positiva es $A=6,$ así que $B=7.$

(El caso $B=A-1$ da $A^2-5A-2=0,$ que no tiene solución entera.)

Por lo tanto $A+B=13.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Writing the numerals out, $132_A=A^2+3A+2,$ $43_B=4B+3,$ and $69_{A+B}=6(A+B)+9.$

With $B=A+1,$ the equation becomes $A^2+3A+2$ $+4(A+1)+3$ $=6(2A+1)+9,$ which simplifies to $(A-6)(A+1)=0.$ The positive solution is $A=6,$ so $B=7.$

(The case $B=A-1$ gives $A^2-5A-2=0,$ which has no integer solution.)

Therefore $A+B=13.$

Thus, the correct answer is C.

12.

¿Cuántas sucesiones de ceros y/o unos de longitud $20$ tienen todos los ceros consecutivos, o todos los unos consecutivos, o ambas cosas?

How many sequences of zeros and/or ones of length $20$ have all the zeros consecutive, or all the ones consecutive, or both?

$190$

$192$

$211$

$380$

$382$

Respuesta: E

Conceptos:inclusión-exclusión combinaciones

Nivel de dificultad: 1660

Solución:

Sea $A$ el conjunto de sucesiones en las que todos los ceros son consecutivos y $B$ aquellas en las que todos los unos son consecutivos.

Para $A,$ hay una sucesión con todos unos, $20$ sucesiones con exactamente un cero, y $\binom{20}{2}=190$ sucesiones con dos o más ceros (se elige la posición del primer y del último cero). Así que $|A|=1+20+190=211,$ y por simetría $|B|=211.$

Una sucesión en $A\cap B$ es un bloque de ceros seguido de un bloque de unos, o al revés; hay $|A\cap B|=40$ de estas.

Por lo tanto $|A\cup B|=211+211-40$ $=382.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

Let $A$ be the sequences in which all zeros are consecutive and $B$ those in which all ones are consecutive.

For $A,$ there is one all-ones sequence, $20$ sequences with exactly one zero, and $\binom{20}{2}=190$ sequences with two or more zeros (choose the first and last zero position). So $|A|=1+20+190=211,$ and by symmetry $|B|=211.$

A sequence in $A\cap B$ is a block of zeros followed by a block of ones, or the reverse; there are $|A\cap B|=40$ of these.

Therefore $|A\cup B|=211+211-40$ $=382.$

Thus, the correct answer is E.

13.

Dos parábolas tienen ecuaciones $y = x^2 + ax + b$ y $y = x^2 + cx + d,$ donde $a,$ $b,$ $c,$ y $d$ son enteros (no necesariamente distintos), cada uno elegido independientemente lanzando un dado justo de seis caras. ¿Cuál es la probabilidad de que las parábolas tengan al menos un punto en común?

Two parabolas have equations $y = x^2 + ax + b$ and $y = x^2 + cx + d,$ where $a,$ $b,$ $c,$ and $d$ are integers (not necessarily different), each chosen independently by rolling a fair six-sided die. What is the probability that the parabolas have at least one point in common?

$\dfrac{1}{2}$

$\dfrac{25}{36}$

$\dfrac{5}{6}$

$\dfrac{31}{36}$

$1$

Respuesta: D

Conceptos:probabilidad básica conteo complementario dados (probabilidad)

Nivel de dificultad: 1590

Solución:

Las parábolas se cortan donde $x^2+ax+b=x^2+cx+d,$ es decir $ax+b=cx+d.$ Esto no tiene solución exactamente cuando las rectas son paralelas y distintas: $a=c$ y $b\neq d.$

La probabilidad de que $a=c$ es $\tfrac16,$ y la probabilidad de que $b\neq d$ es $\tfrac56,$ así que la probabilidad de que no haya punto común es $\tfrac16\cdot\tfrac56=\tfrac5{36}.$

La probabilidad de al menos un punto común es $1-\tfrac5{36}=\tfrac{31}{36}.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

The parabolas meet where $x^2+ax+b=x^2+cx+d,$ i.e. $ax+b=cx+d.$ This has no solution exactly when the lines are parallel and distinct: $a=c$ and $b\neq d.$

The probability that $a=c$ is $\tfrac16,$ and the probability that $b\neq d$ is $\tfrac56,$ so the probability of no common point is $\tfrac16\cdot\tfrac56=\tfrac5{36}.$

The probability of at least one common point is $1-\tfrac5{36}=\tfrac{31}{36}.$

Thus, the correct answer is D.

14.

Bernardo y Silvia juegan al siguiente juego. Se selecciona un entero entre $0$ y $999,$ inclusive, y se le da a Bernardo. Cada vez que Bernardo recibe un número, lo duplica y pasa el resultado a Silvia. Cada vez que Silvia recibe un número, le suma $50$ y pasa el resultado a Bernardo. El ganador es la última persona que produce un número menor que $1000.$ Sea $N$ el menor número inicial que resulta en una victoria para Bernardo. ¿Cuál es la suma de los dígitos de $N$ ?

Bernardo and Silvia play the following game. An integer between $0$ and $999,$ inclusive, is selected and given to Bernardo. Whenever Bernardo receives a number, he doubles it and passes the result to Silvia. Whenever Silvia receives a number, she adds $50$ to it and passes the result to Bernardo. The winner is the last person who produces a number less than $1000.$ Let $N$ be the smallest initial number that results in a win for Bernardo. What is the sum of the digits of $N?$

$7$

$8$

$9$

$10$

$11$

Respuesta: A

Conceptos:trabajar hacia atrás desigualdad

Nivel de dificultad: 1730

Solución:

Bernardo gana tras una ronda cuando su número duplicado $2n+50\ge1000$ pero los números anteriores se mantuvieron por debajo de $1000.$ El menor $n$ con $2n+50\ge1000$ es $475.$

Trabajando hacia atrás, los menores valores iniciales que llevan a una victoria tras dos, tres y cuatro rondas son los menores enteros con $2n+50\ge475,$ $\ge213,$ y $\ge82,$ a saber $213,$ $82,$ y $16.$ Ningún inicio gana tras más de cuatro rondas.

Así que $N=16,$ y la suma de sus dígitos es $1+6=7.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

Bernardo wins after a round when his doubled number $2n+50\ge1000$ but the previous numbers stayed below $1000.$ The smallest $n$ with $2n+50\ge1000$ is $475.$

Working backwards, the smallest starting values that lead to a win after two, three, and four rounds are the smallest integers with $2n+50\ge475,$ $\ge213,$ and $\ge82,$ namely $213,$ $82,$ and $16.$ No start wins after more than four rounds.

So $N=16,$ and the sum of its digits is $1+6=7.$

Thus, the correct answer is A.

15.

Jesse corta un disco circular de papel de radio $12$ a lo largo de dos radios para formar dos sectores, el más pequeño con un ángulo central de $120$ grados. Hace dos conos circulares, usando cada sector para formar la superficie lateral de un cono. ¿Cuál es la razón entre el volumen del cono más pequeño y el del más grande?

Jesse cuts a circular paper disk of radius $12$ along two radii to form two sectors, the smaller having a central angle of $120$ degrees. He makes two circular cones, using each sector to form the lateral surface of a cone. What is the ratio of the volume of the smaller cone to that of the larger?

$\dfrac{1}{8}$

$\dfrac{1}{4}$

$\dfrac{\sqrt{10}}{10}$

$\dfrac{\sqrt{5}}{6}$

$\dfrac{\sqrt{10}}{5}$

Respuesta: C

Conceptos:cono volumen Teorema de Pitágoras

Nivel de dificultad: 1800

Solución:

Cada sector forma un cono con generatriz $12.$ La longitud de arco del sector más pequeño es $\tfrac{120}{360}\cdot2\pi\cdot12=8\pi,$ así que su radio de base es $4$ y su altura es $\sqrt{12^2-4^2}=8\sqrt2.$

El sector más grande (ángulo central $240^\circ$ ) tiene longitud de arco $16\pi,$ radio de base $8,$ y altura $\sqrt{12^2-8^2}=4\sqrt5.$

La razón de volúmenes es $\frac{\tfrac13\pi\cdot4^2\cdot8\sqrt2}{\tfrac13\pi\cdot8^2\cdot4\sqrt5} =\frac{\sqrt{10}}{10}.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Each sector forms a cone with slant height $12.$ The smaller sector's arc length is $\tfrac{120}{360}\cdot2\pi\cdot12=8\pi,$ so its base radius is $4$ and its height is $\sqrt{12^2-4^2}=8\sqrt2.$

The larger sector (central angle $240^\circ$ ) has arc length $16\pi,$ base radius $8,$ and height $\sqrt{12^2-8^2}=4\sqrt5.$

The ratio of volumes is $\frac{\tfrac13\pi\cdot4^2\cdot8\sqrt2}{\tfrac13\pi\cdot8^2\cdot4\sqrt5} =\frac{\sqrt{10}}{10}.$

Thus, the correct answer is C.

16.

Amy, Beth y Jo escuchan cuatro canciones diferentes y comentan cuáles les gustan. Ninguna canción les gusta a las tres. Además, para cada uno de los tres pares de chicas, hay al menos una canción que les gusta a esas dos chicas pero no a la tercera. ¿De cuántas maneras diferentes es esto posible?

Amy, Beth, and Jo listen to four different songs and discuss which ones they like. No song is liked by all three. Furthermore, for each of the three pairs of the girls, there is at least one song liked by those two girls but disliked by the third. In how many different ways is this possible?

$108$

$132$

$671$

$846$

$1105$

Respuesta: B

Conceptos:análisis por casos principio de multiplicación

Nivel de dificultad: 1840

Solución:

Cada canción le gusta a exactamente uno de los tres pares, a una sola chica, o a nadie. Cada par debe estar representado.

Caso 1: cada canción le gusta a un par. Un par recibe dos de las cuatro canciones ( $\binom42=6$ maneras, y $3$ opciones para cuál par), y los otros dos pares reciben una canción cada uno ( $2$ maneras). Esto da $3\cdot6\cdot2=36.$

Caso 2: tres canciones van a los tres pares (una cada uno) y la cuarta canción le gusta a una sola chica o a nadie. Asignar las cuatro canciones a estos cuatro roles da $4!=24$ maneras, y el rol sobrante tiene $4$ opciones (Amy, Beth, Jo o nadie): $24\cdot4=96.$

El total es $36+96=132.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Each song is liked by exactly one of the three pairs, by a single girl, or by no one. Every pair must be represented.

Case 1: every song is liked by a pair. One pair gets two of the four songs ( $\binom42=6$ ways, and $3$ choices for which pair), and the other two pairs get one song each ( $2$ ways). This gives $3\cdot6\cdot2=36.$

Case 2: three songs go to the three pairs (one each) and the fourth song is liked by a single girl or no one. Assigning the four songs to these four roles gives $4!=24$ ways, and the leftover role has $4$ options (Amy, Beth, Jo, or no one): $24\cdot4=96.$

The total is $36+96=132.$

Thus, the correct answer is B.

17.

El cuadrado $PQRS$ está en el primer cuadrante. Los puntos $(3, 0),$ $(5, 0),$ $(7, 0),$ y $(13, 0)$ están en las rectas $SP,$ $RQ,$ $PQ,$ y $SR,$ respectivamente. ¿Cuál es la suma de las coordenadas del centro del cuadrado $PQRS$ ?

Square $PQRS$ lies in the first quadrant. Points $(3, 0),$ $(5, 0),$ $(7, 0),$ and $(13, 0)$ lie on lines $SP,$ $RQ,$ $PQ,$ and $SR,$ respectively. What is the sum of the coordinates of the center of the square $PQRS?$

$6$

$6.2$

$6.4$

$6.6$

$6.8$

Respuesta: C

Conceptos:geometría analítica pendiente sistema de ecuaciones

Nivel de dificultad: 1910

Solución:

Sea $\theta$ el ángulo agudo que la recta $PQ$ forma con el eje $x$ . Los lados $SR=PQ$ cubren el segmento de $(3,0)$ a $(5,0)$ como $2\cos\theta,$ mientras que $SP=QR$ cubren el segmento de $(7,0)$ a $(13,0)$ como $6\sin\theta.$

Como el cuadrado tiene lados iguales, $2\cos\theta=6\sin\theta,$ así que $\tan\theta=\tfrac13.$ Por lo tanto las rectas $SP,RQ$ tienen pendiente $3$ y las rectas $SR,PQ$ tienen pendiente $-\tfrac13.$

El centro está sobre la recta que pasa por $(4,0)$ con pendiente $3$ y sobre la recta que pasa por $(10,0)$ con pendiente $-\tfrac13:$ $y=3(x-4),$ $y=-\tfrac13(x-10).$ Estas se cortan en $(4.6,1.8).$

La suma de las coordenadas es $4.6+1.8=6.4.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Let $\theta$ be the acute angle line $PQ$ makes with the $x$ -axis. Sides $SR=PQ$ span the segment from $(3,0)$ to $(5,0)$ as $2\cos\theta,$ while $SP=QR$ span the segment from $(7,0)$ to $(13,0)$ as $6\sin\theta.$

Since the square has equal sides, $2\cos\theta=6\sin\theta,$ so $\tan\theta=\tfrac13.$ Thus lines $SP,RQ$ have slope $3$ and lines $SR,PQ$ have slope $-\tfrac13.$

The center lies on the line through $(4,0)$ with slope $3$ and the line through $(10,0)$ with slope $-\tfrac13:$ $y=3(x-4),$ $y=-\tfrac13(x-10).$ These meet at $(4.6,1.8).$

The sum of the coordinates is $4.6+1.8=6.4.$

Thus, the correct answer is C.

18.

Sea $(a_1, a_2, \ldots, a_{10})$ una lista de los primeros $10$ enteros positivos tal que para cada $2 \le i \le 10$ o bien $a_i + 1$ o $a_i - 1$ o ambos aparecen en algún lugar antes de $a_i$ en la lista. ¿Cuántas listas de este tipo hay?

Let $(a_1, a_2, \ldots, a_{10})$ be a list of the first $10$ positive integers such that for each $2 \le i \le 10$ either $a_i + 1$ or $a_i - 1$ or both appear somewhere before $a_i$ in the list. How many such lists are there?

$120$

$512$

$1024$

$181{,}440$

$362{,}880$

Respuesta: B

Conceptos:biyección combinaciones

Nivel de dificultad: 1990

Solución:

Una vez fijado $a_1=k$ , los números $k,k+1,\ldots,10$ deben aparecer de izquierda a derecha en orden creciente, y los números $1,\ldots,k-1$ deben aparecer de derecha a izquierda en orden creciente (para que cada nuevo número pequeño tenga su sucesor ya colocado).

Para cada $k,$ la lista queda determinada al elegir cuáles de las $9$ posiciones después de la primera contienen los números menores que $k,$ lo que da $\binom{9}{k-1}$ listas.

Sumando, $\begin{aligned} \sum_{k=1}^{10}\binom{9}{k-1} &= \sum_{j=0}^{9}\binom{9}{j} \\ &= 2^9=512. \end{aligned}$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Once $a_1=k$ is fixed, the numbers $k,k+1,\ldots,10$ must appear left to right in increasing order, and the numbers $1,\ldots,k-1$ must appear from right to left in increasing order (so each new small number has its successor already placed).

For each $k,$ the list is determined by choosing which of the $9$ positions after the first hold the numbers below $k,$ giving $\binom{9}{k-1}$ lists.

Summing, $\begin{aligned} \sum_{k=1}^{10}\binom{9}{k-1} &= \sum_{j=0}^{9}\binom{9}{j} \\ &= 2^9=512. \end{aligned}$

Thus, the correct answer is B.

19.

Un cubo unitario tiene vértices $P_1,$ $P_2,$ $P_3,$ $P_4,$ $P_1',$ $P_2',$ $P_3',$ y $P_4'.$ Los vértices $P_2,$ $P_3,$ y $P_4$ son adyacentes a $P_1,$ y para $1 \le i \le 4,$ los vértices $P_i$ y $P_i'$ son opuestos entre sí. Un octaedro regular tiene un vértice en cada uno de los segmentos $P_1P_2,$ $P_1P_3,$ $P_1P_4,$ $P_1'P_2',$ $P_1'P_3',$ y $P_1'P_4'.$ ¿Cuál es la longitud de lado del octaedro?

A unit cube has vertices $P_1,$ $P_2,$ $P_3,$ $P_4,$ $P_1',$ $P_2',$ $P_3',$ and $P_4'.$ Vertices $P_2,$ $P_3,$ and $P_4$ are adjacent to $P_1,$ and for $1 \le i \le 4,$ vertices $P_i$ and $P_i'$ are opposite to each other. A regular octahedron has one vertex in each of the segments $P_1P_2,$ $P_1P_3,$ $P_1P_4,$ $P_1'P_2',$ $P_1'P_3',$ and $P_1'P_4'.$ What is the octahedron's side length?

$\dfrac{3\sqrt{2}}{4}$

$\dfrac{7\sqrt{6}}{16}$

$\dfrac{\sqrt{5}}{2}$

$\dfrac{2\sqrt{3}}{3}$

$\dfrac{\sqrt{6}}{2}$

Respuesta: A

Conceptos:geometría del cubo Teorema de Pitágoras simetría

Nivel de dificultad: 2110

Solución:

Coloca $P_1$ en el origen con las aristas a lo largo de los ejes, y sea cada uno de los tres vértices del octaedro cercanos a $P_1$ una distancia $t$ de $P_1;$ por simetría los tres cercanos a $P_1'$ también están a una distancia $t$ de $P_1'.$

Dos vértices que comparten $P_1,$ como $(t,0,0)$ y $(0,t,0),$ están a una distancia $t\sqrt2$ . Un vértice cercano a $P_1,$ digamos $(t,0,0),$ y el vértice apropiado cercano a $P_1',$ digamos $(1,1-t,1),$ deben estar a la misma distancia.

Igualar las dos longitudes de lado al cuadrado y usar las aristas unitarias del cubo da $t=\tfrac34,$ así que la longitud de lado es $t\sqrt2=\dfrac{3\sqrt2}{4}.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

Place $P_1$ at the origin with edges along the axes, and let each of the three octahedron vertices near $P_1$ be a distance $t$ from $P_1;$ by symmetry the three near $P_1'$ are also a distance $t$ from $P_1'.$

Two vertices sharing $P_1,$ such as $(t,0,0)$ and $(0,t,0),$ are a distance $t\sqrt2$ apart. A vertex near $P_1,$ say $(t,0,0),$ and the appropriate vertex near $P_1',$ say $(1,1-t,1),$ must be the same distance apart.

Setting the two squared side lengths equal and using the cube's unit edges yields $t=\tfrac34,$ so the side length is $t\sqrt2=\dfrac{3\sqrt2}{4}.$

Thus, the correct answer is A.

20.

Un trapecio tiene lados de longitudes $3,$ $5,$ $7,$ y $11.$ La suma de todas las áreas posibles del trapecio puede escribirse en la forma $r_1\sqrt{n_1} + r_2\sqrt{n_2} + r_3,$ donde $r_1,$ $r_2,$ y $r_3$ son números racionales y $n_1$ y $n_2$ son enteros positivos no divisibles por el cuadrado de un primo. ¿Cuál es el mayor entero menor o igual que $r_1 + r_2 + r_3 + n_1 + n_2$ ?

A trapezoid has side lengths $3,$ $5,$ $7,$ and $11.$ The sum of all the possible areas of the trapezoid can be written in the form of $r_1\sqrt{n_1} + r_2\sqrt{n_2} + r_3,$ where $r_1,$ $r_2,$ and $r_3$ are rational numbers and $n_1$ and $n_2$ are positive integers not divisible by the square of a prime. What is the greatest integer less than or equal to $r_1 + r_2 + r_3 + n_1 + n_2?$

$57$

$59$

$61$

$63$

$65$

Respuesta: D

Conceptos:trapecio Fórmula de Herón análisis por casos

Nivel de dificultad: 2150

Solución:

Para un trapecio con lados paralelos $a\lt c$ y lados oblicuos $b,d,$ trasladar un lado oblicuo forma un triángulo con lados $b,$ $d,$ y $c-a.$ La desigualdad triangular obliga a que el lado paralelo más largo sea $c=11.$

Si $a=3,$ el triángulo tiene lados $5,7,8$ con área $10\sqrt3,$ y el trapecio tiene área $\tfrac{35}{2}\sqrt3.$ Si $a=5,$ el triángulo tiene lados $3,6,7$ con área $4\sqrt5,$ lo que da un área del trapecio de $\tfrac{32}{3}\sqrt5.$ Si $a=7,$ el triángulo tiene lados $3,4,5,$ un triángulo rectángulo, lo que da un área del trapecio de $27.$

El total es $\tfrac{35}{2}\sqrt3+\tfrac{32}{3}\sqrt5+27,$ así que $\begin{gathered} r_1+r_2+r_3+n_1+n_2 \\ = \tfrac{35}{2}+\tfrac{32}{3}+27+3+5 \\ = 63+\tfrac16. \end{gathered}$

El mayor entero menor o igual que este valor es $63.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

For a trapezoid with parallel sides $a\lt c$ and legs $b,d,$ translating a leg forms a triangle with sides $b,$ $d,$ and $c-a.$ The triangle inequality forces the longer parallel side to be $c=11.$

If $a=3,$ the triangle has sides $5,7,8$ with area $10\sqrt3,$ and the trapezoid has area $\tfrac{35}{2}\sqrt3.$ If $a=5,$ the triangle has sides $3,6,7$ with area $4\sqrt5,$ giving trapezoid area $\tfrac{32}{3}\sqrt5.$ If $a=7,$ the triangle has sides $3,4,5,$ a right triangle, giving trapezoid area $27.$

The total is $\tfrac{35}{2}\sqrt3+\tfrac{32}{3}\sqrt5+27,$ so $\begin{gathered} r_1+r_2+r_3+n_1+n_2 \\ = \tfrac{35}{2}+\tfrac{32}{3}+27+3+5 \\ = 63+\tfrac16. \end{gathered}$

The greatest integer at most this value is $63.$

Thus, the correct answer is D.

21.

El cuadrado $AXYZ$ está inscrito en el hexágono equiangular $ABCDEF$ con $X$ en $\overline{BC},$ $Y$ en $\overline{DE},$ y $Z$ en $\overline{EF}.$ Supón que $AB = 40$ y $EF = 41(\sqrt{3} - 1).$ ¿Cuál es la longitud de lado del cuadrado?

Square $AXYZ$ is inscribed in equiangular hexagon $ABCDEF$ with $X$ on $\overline{BC},$ $Y$ on $\overline{DE},$ and $Z$ on $\overline{EF}.$ Suppose that $AB = 40$ and $EF = 41(\sqrt{3} - 1).$ What is the side-length of the square?

$29\sqrt{3}$

$\dfrac{21}{2}\sqrt{2} + \dfrac{41}{2}\sqrt{3}$

$20\sqrt{3} + 16$

$20\sqrt{2} + 13\sqrt{3}$

$21\sqrt{6}$

Respuesta: A

Conceptos:polígono equiángulo congruencia (geometría)Teorema de Pitágoras

Nivel de dificultad: 2170

Solución:

Extiende $EF$ y $CB$ hasta una recta que pasa por $A$ perpendicular a ambas, cortándolas en $H$ y $J.$ Como $\angle ABJ=60^\circ,$ tenemos $BJ=20$ y $AJ=20\sqrt3.$ Con $u=BX,$ el teorema de Pitágoras da $s^2=(20+u)^2+(20\sqrt3)^2.$

Los ángulos equiangulares hacen que los cuatro triángulos de esquina sean congruentes, y siguiendo los segmentos iguales a lo largo de $EF$ se obtiene $\begin{aligned} u+20\sqrt3 &= 41(\sqrt3-1) \\ &\quad {}+\frac{20+u}{\sqrt3}, \end{aligned}$ así que $u=21\sqrt3-20.$

Como $20+u=21\sqrt3,$ obtenemos $\begin{aligned} s^2 &= (21\sqrt3)^2+(20\sqrt3)^2 \\ &= 3(441+400)=3\cdot29^2, \end{aligned}$ lo que da $s=29\sqrt3.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

Extend $EF$ and $CB$ to a line through $A$ perpendicular to both, meeting them at $H$ and $J.$ Since $\angle ABJ=60^\circ,$ we have $BJ=20$ and $AJ=20\sqrt3.$ With $u=BX,$ the Pythagorean theorem gives $s^2=(20+u)^2+(20\sqrt3)^2.$

The equiangular angles make the four corner triangles congruent, and chasing the equal segments along $EF$ yields $\begin{aligned} u+20\sqrt3 &= 41(\sqrt3-1) \\ &\quad {}+\frac{20+u}{\sqrt3}, \end{aligned}$ so $u=21\sqrt3-20.$

Since $20+u=21\sqrt3,$ we get $\begin{aligned} s^2 &= (21\sqrt3)^2+(20\sqrt3)^2 \\ &= 3(441+400)=3\cdot29^2, \end{aligned}$ giving $s=29\sqrt3.$

Thus, the correct answer is A.

22.

Un insecto viaja de $A$ a $B$ a lo largo de los segmentos de la retícula hexagonal que se muestra abajo. Los segmentos marcados con una flecha solo pueden recorrerse en la dirección de la flecha, y el insecto nunca recorre el mismo segmento más de una vez. ¿Cuántos caminos diferentes hay?

A bug travels from $A$ to $B$ along the segments in the hexagonal lattice pictured below. The segments marked with an arrow can be traveled only in the direction of the arrow, and the bug never travels the same segment more than once. How many different paths are there?

$2112$

$2304$

$2368$

$2384$

$2400$

Respuesta: E

Conceptos:análisis por casos principio de multiplicación

Nivel de dificultad: 2270

Solución:

Etiqueta las siete columnas de segmentos hacia adelante (hacia la derecha); un camino sin segmento de retroceso simplemente elige un segmento hacia adelante en cada columna. Los números de opciones son $2,2,4,4,4,2,2,$ lo que da $2^{10}$ caminos.

Sean $s_1,s_2,s_3$ los tres segmentos de retroceso que apuntan a la izquierda (en las columnas $2,4,6$ ). Analizar qué columnas quedan forzadas una vez que se recorre un segmento de retroceso da $2^8$ caminos para cada uno de $\{s_1\}$ y $\{s_3\},$ $2^6$ para $\{s_1,s_3\},$ $2^9$ para $\{s_2\},$ $2^7$ para cada uno de $\{s_1,s_2\}$ y $\{s_2,s_3\},$ y $2^5$ para $\{s_1,s_2,s_3\}.$

Sumando, $\begin{aligned} &2^{10}+2\cdot2^8+2^6 \\ &\quad {}+2^9+2\cdot2^7+2^5=2400. \end{aligned}$

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

Label the seven columns of forward (rightward) segments; a path with no back segment simply chooses one forward segment in each column. The numbers of choices are $2,2,4,4,4,2,2,$ giving $2^{10}$ paths.

Let $s_1,s_2,s_3$ be the three left-pointing back segments (in columns $2,4,6$ ). Analyzing which columns become forced once a back segment is traversed gives $2^8$ paths for each of $\{s_1\}$ and $\{s_3\},$ $2^6$ for $\{s_1,s_3\},$ $2^9$ for $\{s_2\},$ $2^7$ for each of $\{s_1,s_2\}$ and $\{s_2,s_3\},$ and $2^5$ for $\{s_1,s_2,s_3\}.$

Adding, $\begin{aligned} &2^{10}+2\cdot2^8+2^6 \\ &\quad {}+2^9+2\cdot2^7+2^5=2400. \end{aligned}$

Thus, the correct answer is E.

23.

Considera todos los polinomios de una variable compleja, $P(z) = 4z^4 + az^3$ $+ bz^2 + cz + d,$ donde $a,$ $b,$ $c,$ y $d$ son enteros, $0 \le d \le c \le b \le a \le 4,$ y el polinomio tiene un cero $z_0$ con $|z_0| = 1.$ ¿Cuál es la suma de todos los valores $P(1)$ sobre todos los polinomios con estas propiedades?

Consider all polynomials of a complex variable, $P(z) = 4z^4 + az^3$ $+ bz^2 + cz + d,$ where $a,$ $b,$ $c,$ and $d$ are integers, $0 \le d \le c \le b \le a \le 4,$ and the polynomial has a zero $z_0$ with $|z_0| = 1.$ What is the sum of all values $P(1)$ over all the polynomials with these properties?

$84$

$92$

$100$

$108$

$120$

Respuesta: B

Conceptos:raíces de la unidad número complejo desigualdad triangular

Nivel de dificultad: 2380

Solución:

Como $|z_0|=1,$ aplicar la desigualdad triangular a la identidad $\begin{aligned} &4z_0^5-(z_0-1)P(z_0) \\ &\quad =z_0^4(4-a)+z_0^3(a-b) \\ &\quad {}+z_0^2(b-c)+z_0(c-d)+d \end{aligned}$ obliga a la igualdad en todo, así que todas las diferencias de coeficientes salvo una se anulan.

Analizando los casos (incluyendo $z_0=-1$ y $z_0=\gamma$ una raíz cúbica primitiva de la unidad), los polinomios son exactamente $4z^4+4z^3+4z^2+4z+4,$ $4z^4+4z^3+4z^2,$ y $4z^4+4z^3+bz^2+bz$ para $0\le b\le4.$

Sus valores en $1$ son $20,$ $12,$ y $8+2b;$ sumando da $\begin{gathered} 20+12+\sum_{b=0}^{4}(8+2b) \\ = 32+40+20 \\ = 92. \end{gathered}$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Because $|z_0|=1,$ applying the triangle inequality to the identity $\begin{aligned} &4z_0^5-(z_0-1)P(z_0) \\ &\quad =z_0^4(4-a)+z_0^3(a-b) \\ &\quad {}+z_0^2(b-c)+z_0(c-d)+d \end{aligned}$ forces equality throughout, so all but one of the coefficient differences vanish.

Working through the cases (including $z_0=-1$ and $z_0=\gamma$ a primitive cube root of unity), the polynomials are exactly $4z^4+4z^3+4z^2+4z+4,$ $4z^4+4z^3+4z^2,$ and $4z^4+4z^3+bz^2+bz$ for $0\le b\le4.$

Their values at $1$ are $20,$ $12,$ and $8+2b;$ summing gives $\begin{gathered} 20+12+\sum_{b=0}^{4}(8+2b) \\ = 32+40+20 \\ = 92. \end{gathered}$

Thus, the correct answer is B.

24.

Define la función $f_1$ en los enteros positivos poniendo $f_1(1) = 1$ y, si $n = p_1^{e_1} p_2^{e_2} \cdots p_k^{e_k}$ es la factorización en primos de $n \gt 1,$ entonces $\begin{aligned} &f_1(n) = (p_1 + 1)^{e_1 - 1}(p_2 + 1)^{e_2 - 1} \\ &\quad \cdots (p_k + 1)^{e_k - 1}. \end{aligned}$ Para cada $m \ge 2,$ sea $f_m(n) = f_1(f_{m-1}(n)).$ ¿Para cuántos $N$ en el rango $1 \le N \le 400$ la sucesión $(f_1(N), f_2(N), f_3(N), \ldots)$ es no acotada? Nota: una sucesión de números positivos es no acotada si para cada entero $B,$ hay un miembro de la sucesión mayor que $B.$

Define the function $f_1$ on the positive integers by setting $f_1(1) = 1$ and if $n = p_1^{e_1} p_2^{e_2} \cdots p_k^{e_k}$ is the prime factorization of $n \gt 1,$ then $\begin{aligned} &f_1(n) = (p_1 + 1)^{e_1 - 1}(p_2 + 1)^{e_2 - 1} \\ &\quad \cdots (p_k + 1)^{e_k - 1}. \end{aligned}$ For every $m \ge 2,$ let $f_m(n) = f_1(f_{m-1}(n)).$ For how many $N$ in the range $1 \le N \le 400$ is the sequence $(f_1(N), f_2(N), f_3(N), \ldots)$ unbounded? Note: a sequence of positive numbers is unbounded if for every integer $B,$ there is a member of the sequence greater than $B.$

$15$

$16$

$17$

$18$

$19$

Respuesta: D

Conceptos:factorización en primos divisibilidad recursión

Nivel de dificultad: 2520

Solución:

Si $N_1\mid N_2$ entonces $f_1(N_1)\mid f_1(N_2),$ así que si $S_{N_1}$ es no acotada, también lo es $S_{N_2}.$ Llama a $N$ esencial si es no acotada pero ningún divisor propio lo es. Un $N$ esencial debe tener todos los exponentes al menos $2,$ y $(p_1\cdots p_k)^2\le400$ obliga a lo más dos primos.

Revisando potencias de primos y pares de primos, los valores esenciales son $2^5=32,$ $3^4=81,$ $7^3=343,$ y $2^4\cdot5^2=400.$

Sus múltiplos hasta $400$ suman $\lfloor400/32\rfloor=12,$ $\lfloor400/81\rfloor=4,$ $\lfloor400/343\rfloor=1,$ y $\lfloor400/400\rfloor=1,$ sin solapamientos, para un total de $12+4+1+1=18.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

If $N_1\mid N_2$ then $f_1(N_1)\mid f_1(N_2),$ so if $S_{N_1}$ is unbounded so is $S_{N_2}.$ Call $N$ essential if it is unbounded but no proper divisor is. An essential $N$ must have all exponents at least $2,$ and $(p_1\cdots p_k)^2\le400$ forces at most two primes.

Checking prime powers and prime pairs, the essential values are $2^5=32,$ $3^4=81,$ $7^3=343,$ and $2^4\cdot5^2=400.$

Their multiples up to $400$ number $\lfloor400/32\rfloor=12,$ $\lfloor400/81\rfloor=4,$ $\lfloor400/343\rfloor=1,$ and $\lfloor400/400\rfloor=1,$ with no overlaps, for a total of $12+4+1+1=18.$

Thus, the correct answer is D.

25.

Sea $S = \{(x, y) : x \in \{0, 1, 2, 3, 4\},$ $y \in \{0, 1, 2, 3, 4, 5\},$ y $(x, y) \ne (0, 0)\}.$ Sea $T$ el conjunto de todos los triángulos rectángulos cuyos vértices están en $S.$ Para cada triángulo rectángulo $t = \triangle ABC$ con vértices $A,$ $B,$ y $C$ en orden antihorario y ángulo recto en $A,$ sea $f(t) = \tan(\angle CBA).$ ¿Cuánto vale $\prod_{t \in T} f(t)$ ?

Let $S = \{(x, y) : x \in \{0, 1, 2, 3, 4\},$ $y \in \{0, 1, 2, 3, 4, 5\},$ and $(x, y) \ne (0, 0)\}.$ Let $T$ be the set of all right triangles whose vertices are in $S.$ For every right triangle $t = \triangle ABC$ with vertices $A,$ $B,$ and $C$ in counter-clockwise order and right angle at $A,$ let $f(t) = \tan(\angle CBA).$ What is $\prod_{t \in T} f(t)?$

$1$

$\dfrac{625}{144}$

$\dfrac{125}{24}$

$6$

$\dfrac{625}{24}$

Respuesta: B

Conceptos:trigonometría telescópica simetría

Nivel de dificultad: 2650

Solución:

Los triángulos rectángulos isósceles contribuyen $f(t)=1.$ Para un triángulo rectángulo escaleno, reflejarlo respecto de una recta adecuada lo empareja con un triángulo $t_1$ de modo que $f(t)f(t_1)$ $=\tan(\angle CBA)\tan(\angle ACB)$ $=1.$

Reflexiones sucesivas (respecto de $x=2,$ luego $x=y,$ luego $y=\tfrac52$ ) reducen el producto al recíproco del producto sobre solo seis triángulos de la forma $OYZ$ con $Y$ en la fila superior.

Esos seis dan $\begin{aligned} &\frac15\cdot\frac25\cdot\frac35\cdot\frac45\cdot\frac{3\sqrt2}{\sqrt2} \\ &\quad {}\cdot\frac{4\sqrt2}{\sqrt2}\cdot\frac{1}{2}=\frac{144}{625}, \end{aligned}$ así que el producto pedido es su recíproco, $\dfrac{625}{144}.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Isosceles right triangles contribute $f(t)=1.$ For a scalene right triangle, reflecting across a suitable line pairs it with a triangle $t_1$ so that $f(t)f(t_1)$ $=\tan(\angle CBA)\tan(\angle ACB)$ $=1.$

Successive reflections (across $x=2,$ then $x=y,$ then $y=\tfrac52$ ) reduce the product to the reciprocal of the product over just six triangles of the form $OYZ$ with $Y$ on the top row.

Those six give $\begin{aligned} &\frac15\cdot\frac25\cdot\frac35\cdot\frac45\cdot\frac{3\sqrt2}{\sqrt2} \\ &\quad {}\cdot\frac{4\sqrt2}{\sqrt2}\cdot\frac{1}{2}=\frac{144}{625}, \end{aligned}$ so the required product is its reciprocal, $\dfrac{625}{144}.$

Thus, the correct answer is B.

Problemas del 2012 AMC 12B

Respuesta: C

Solución:

Respuesta: E

Solución:

Respuesta: D

Solución:

Respuesta: B

Solución:

Respuesta: A

Solución:

Respuesta: A

Solución:

Respuesta: E

Solución:

Respuesta: A

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Respuesta: B

Solución:

Respuesta: B

Solución:

Respuesta: C

Solución:

Respuesta: E

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Respuesta: D

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Respuesta: A

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Respuesta: C

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Respuesta: B

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Respuesta: C

Solución:

Respuesta: B

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Respuesta: A

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Respuesta: D

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Respuesta: A

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Respuesta: E

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Respuesta: B

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Respuesta: D

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Respuesta: B

Solución: