Question

¿Cuál es el área del polígono cuyos vértices son los puntos de intersección de las curvas $x^2 + y^2 = 25$ y $(x - 4)^2 + 9y^2 = 81$ ?

What is the area of the polygon whose vertices are the points of intersection of the curves $x^2 + y^2 = 25$ and $(x - 4)^2 + 9y^2 = 81?$

$24$

$27$

$36$

$37.5$

$42$

Solución:

De $x^2+y^2=25$ obtenemos $y^2=25-x^2.$ Sustituyendo en $(x-4)^2+9y^2=81$ da $x^2+x-20=0,$ así que $x=4$ o $x=-5.$

Los puntos de intersección son $(-5,0),$ $(4,3),$ y $(4,-3).$

El lado vertical de $(4,3)$ a $(4,-3)$ tiene longitud $6,$ y la distancia horizontal a $(-5,0)$ es $9,$ de modo que el área es $\tfrac12\cdot6\cdot9=27.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

From $x^2+y^2=25$ we get $y^2=25-x^2.$ Substituting into $(x-4)^2+9y^2=81$ gives $x^2+x-20=0,$ so $x=4$ or $x=-5.$

The intersection points are $(-5,0),$ $(4,3),$ and $(4,-3).$

The vertical side from $(4,3)$ to $(4,-3)$ has length $6,$ and the horizontal distance to $(-5,0)$ is $9,$ so the area is $\tfrac12\cdot6\cdot9=27.$

Thus, the correct answer is B.

2012 AMC 12B Problema 10

Solución:

El Problema 10 en otros años